📘 第 5 章：特征值与特征向量

Note

本篇是《Linear Algebra and its Applications》(David C. Lay, 5th Edition) 第 5 章 Eigenvalues and Eigenvectors 的中文初学者精讲笔记。这一章要回答的核心问题是：一个矩阵 $A$ 作用在向量上时，是否有些”特殊方向”上的向量只会被拉伸或压缩、不改变方向？答案是肯定的，这些方向就叫特征向量，拉伸倍数叫特征值。找到它们之后，矩阵的幂 $A^k$、离散动力系统 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 的长期行为、微分方程组 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ 的解，全都会变得一目了然。全章例题、练习题（Practice Problems）均完整保留并逐步讲解；本节习题列表见原书。

引入例：动力系统与斑点猫头鹰

图 5-1：北方斑点猫头鹰——本章引入例研究的物种

1990 年，北方斑点猫头鹰成为美国太平洋西北地区森林政策争论的焦点：环保主义者认为若继续砍伐老生林，猫头鹰将面临灭绝；木材行业则担心数十万个工作岗位流失。数学生态学家因此加紧研究猫头鹰种群的动力学。

猫头鹰的一生分为三个阶段：幼鸟（1 岁以内）、亚成鸟（1~2 岁）、成鸟（2 岁以上）。按年统计雌性数量，令 ${\mathbf{x}}_k=(j_k,s_k,a_k)$ 表示第 $k$ 年三个阶段的雌鸟数量。Lamberson 等人根据野外数据建立了如下阶段矩阵模型：

$$\left[\begin{array}{c}{j}_{k+1}\\ s_{k+1}\\ a_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0.33\\ 0.18& 0& 0\\ 0& 0.71& 0.94\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{j}_k\\ s_k\\ a_k\end{array}\right]$$

含义：每对成鸟平均每年新增 0.33 只幼鸟；18% 的幼鸟能活到亚成鸟阶段；71% 的亚成鸟与 94% 的成鸟继续存活为成鸟。这是一个形如

$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$$

的**（离散线性）动力系统**。模型中受森林砍伐影响最大的就是 0.18 这个幼鸟存活率。5.6 节将证明：在上述参数下模型预测猫头鹰终将灭绝；但若把幼鸟找到新领地的比例提高到 50%，种群反而会繁荣。答案的钥匙，正是本章的特征值与特征向量。

5.1 特征向量与特征值

变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 会把向量搬向各种方向，但常常存在一些特殊向量，$A$ 对它们的作用非常简单——只做伸缩。

例 1 设 $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$。则 $A\mathbf{v}=2\mathbf{v}$：$A$ 作用在 $\mathbf{v}$ 上只是把它”拉伸”为原来的 2 倍，方向不变。

图 5-2：矩阵 $A$ 乘法对 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的不同作用

还记得 4.9 节的结论吗？若 $A$ 是随机矩阵，其稳态向量 $\mathbf{q}$ 满足 $A\mathbf{q}=1\cdot \mathbf{q}$。这说明”稳态向量”其实就是即将定义的特征向量的特例。本节研究形如

$$A\mathbf{x}=2\mathbf{x}\text{或}A\mathbf{x}=-4\mathbf{x}$$

的方程：某些特殊向量被 $A$ 变换成了自己的数量倍。

定义：$n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征向量是非零向量 $\mathbf{x}$，使得对某个标量 $\lambda$ 有 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。若方程 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 有非平凡解，则标量 $\lambda$ 称为 $A$ 的特征值，这个 $\mathbf{x}$ 称为对应于 $\lambda$ 的特征向量。

Warning

特征向量必须非零。零向量对任何 $\lambda$ 都满足 $A0=\lambda 0$，若允许零向量，“特征值”就失去意义了。另外，一个特征向量只对应一个特征值；但一个特征值可以对应无穷多个特征向量（它们的任意非零倍数都还是特征向量）。

判断”某个向量是不是特征向量""某个数是不是特征值”都很容易：直接验证定义即可。

图 5-3：$A\mathbf{u}=-4\mathbf{u}$ 是特征向量，而 $A\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的倍数

例 2 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]$，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$。$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量吗？

解：

$$A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-24\\ 20\end{array}\right]=-4\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=-4\mathbf{u}$$ $$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-9\\ 11\end{array}\right]\ne \lambda \left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$$

所以 $\mathbf{u}$ 是对应于特征值 $-4$ 的特征向量，而 $\mathbf{v}$ 不是特征向量，因为 $A\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的倍数。■

例 3 证明 7 是例 2 中矩阵 $A$ 的特征值，并求出相应的特征向量。

解：7 是 $A$ 的特征值当且仅当方程

$$A\mathbf{x}=7\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(1)}$$

有非平凡解。把 (1) 改写为 $A\mathbf{x}-7\mathbf{x}=0$，即

$$(A-7I)\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

为解这个齐次方程，构造矩阵

$$A-7I=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& 6\\ 5& -5\end{array}\right]$$

$A-7I$ 的两列显然线性相关，所以 (2) 有非平凡解，故 7 是特征值。用行化简求特征向量：

$$\left[\begin{array}{ccc}-6& 6& 0\\ 5& -5& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解形如 $x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$。凡此形式且 $x_2\ne 0$ 的向量都是对应于 $\lambda =7$ 的特征向量。■

Warning

行化简可以用来求特征向量（解 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$），但不能用来求特征值：把 $A$ 化成阶梯形后，阶梯形矩阵的对角元一般不再是原矩阵的特征值。行变换会改变特征值！求特征值必须走 5.2 节的特征方程路线。

把 (1)(2) 的等价性推广到任意 $\lambda$：$\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征值当且仅当方程

$$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

有非平凡解。(3) 的全部解构成的集合恰好是矩阵 $A-\lambda I$ 的零空间，它是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，称为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征空间。特征空间由零向量和所有对应于 $\lambda$ 的特征向量组成。

由例 2 和例 3：对应 $\lambda =7$ 的特征空间是过 $(1,1)$ 与原点的直线；对应 $\lambda =-4$ 的特征空间是过 $(6,-5)$ 的直线。下图展示了这两个特征空间以及 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 在其上的几何作用。

图 5-4：$\lambda =-4$ 与 $\lambda =7$ 对应的特征空间（$A$ 在每条直线上只做伸缩）

例 4 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]$，已知 2 是 $A$ 的一个特征值，求相应特征空间的一组基。

解：构造

$$A-2I=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 6\\ 2& -1& 6\\ 2& -1& 6\end{array}\right]$$

对 $(A-2I)\mathbf{x}=0$ 的增广矩阵做行化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 6& 0\\ 2& -1& 6& 0\\ 2& -1& 6& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}2& -1& 6& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

出现自由变量，说明 2 确实是特征值。通解为

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}1/2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right],x_2,x_3\text{ 为自由变量}$$

特征空间是 ${\mathbb{R}}^3$ 的二维子空间（一个过原点的平面），一组基为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

图 5-5：$A$ 在整个特征空间（平面）上起到拉伸作用

数值注记

例 4 展示了”特征值已知时手工求特征向量”的好方法。用软件对指定的 $\lambda$ 做行化简求特征空间通常也可行，但不完全可靠：舍入误差偶尔会导致阶梯形主元个数出错。成熟的程序会把特征值和特征向量的近似同时计算出来。

定理 1：三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。

证明：以 $3\times 3$ 上三角为例：

$$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}-\lambda & a_{23}\\ 0& 0& a_{33}-\lambda \end{array}\right]$$

$\lambda$ 是特征值当且仅当 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，即方程有自由变量。由于 $A-\lambda I$ 的零结构，方程有自由变量当且仅当对角线上至少有一个元素为零，即 $\lambda$ 等于某个 $a_{ii}$。下三角情形见原书习题 28（利用 $A$ 与 $A^T$ 特征值相同）。■

例 5 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& -8\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& 3& 4\end{array}\right]$。$A$ 的特征值为 3、0、2（上三角），$B$ 的特征值为 4 和 1（下三角，4 重复出现）。■

特征值为 0 意味着什么？$0$ 是 $A$ 的特征值当且仅当 $A\mathbf{x}=0\cdot \mathbf{x}$ 即 $A\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，当且仅当 $A$ 不可逆。这条事实会加入 5.2 节的可逆矩阵定理。

定理 2：若 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的互不相同特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ 对应的特征向量，则集合 $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 线性无关。

证明（反证法）：假设其线性相关。因 ${\mathbf{v}}_1\ne 0$，取最小的下标 $p$ 使 ${\mathbf{v}}_{p+1}$ 是前面（线性无关的）向量的线性组合：

$$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p={\mathbf{v}}_{p+1}\text{\hspace{1em}(5)}$$

两边乘 $A$ 并利用 $A{\mathbf{v}}_k={\lambda }_k{\mathbf{v}}_k$：

$$c_1{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\lambda }_p{\mathbf{v}}_p={\lambda }_{p+1}{\mathbf{v}}_{p+1}\text{\hspace{1em}(6)}$$

再用 ${\lambda }_{p+1}$ 乘 (5) 并与 (6) 相减：

$$c_1({\lambda }_1-{\lambda }_{p+1}){\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p({\lambda }_p-{\lambda }_{p+1}){\mathbf{v}}_p=0\text{\hspace{1em}(7)}$$

由 $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ 线性无关，(7) 中系数全为零；而特征值互异使 ${\lambda }_i-{\lambda }_{p+1}\ne 0$，故 $c_i=0$，于是 (5) 给出 ${\mathbf{v}}_{p+1}=0$，矛盾。■

这条定理是 5.3 节对角化理论的基石。

特征向量与差分方程

对一阶差分方程（动力系统）

$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k(k=0,1,2,\dots )\text{\hspace{1em}(8)}$$

取一个特征向量 ${\mathbf{x}}_0$ 及其特征值 $\lambda$，令

$${\mathbf{x}}_k={\lambda }^k{\mathbf{x}}_0\text{\hspace{1em}(9)}$$

则 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 就是 (8) 的一组解，因为

$$A{\mathbf{x}}_k=A({\lambda }^k{\mathbf{x}}_0)={\lambda }^k(A{\mathbf{x}}_0)={\lambda }^k(\lambda {\mathbf{x}}_0)={\lambda }^{k+1}{\mathbf{x}}_0={\mathbf{x}}_{k+1}$$

而且这类解的线性组合也是解（见 5.6 节的一般理论）。这就是特征值能”预测未来”的第一个迹象。

5.1 练习题（Practice Problems）

1. 5 是 $A=\left[\begin{array}{ccc}6& -3& 1\\ 3& 0& 5\\ 2& 2& 6\end{array}\right]$ 的特征值吗？

2. 若 $\mathbf{x}$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，$A^3\mathbf{x}$ 是什么？

3. 设 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ 是互异特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量，${\mathbf{b}}_3,{\mathbf{b}}_4$ 是第三个互异特征值 ${\lambda }_3$ 的两个线性无关特征向量。$\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3,{\mathbf{b}}_4\}$ 一定线性无关吗？

4. 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明 $2\lambda$ 是 $2A$ 的特征值。

练习题解答

1. 5 是特征值当且仅当 $(A-5I)\mathbf{x}=0$ 有非平凡解。计算

$$A-5I=\left[\begin{array}{ccc}6& -3& 1\\ 3& 0& 5\\ 2& 2& 6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 1\\ 3& -5& 5\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$$

对增广矩阵行化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 1& 0\\ 3& -5& 5& 0\\ 2& 2& 1& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& -3& 1& 0\\ 0& 4& 2& 0\\ 0& 8& -1& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& -3& 1& 0\\ 0& 4& 2& 0\\ 0& 0& -5& 0\end{array}\right]$$

没有自由变量，$A-5I$ 可逆，所以 5 不是 $A$ 的特征值。

2. 由 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 得 $A^2\mathbf{x}=A(\lambda \mathbf{x})=\lambda A\mathbf{x}={\lambda }^2\mathbf{x}$；再算一次 $A^3\mathbf{x}=A({\lambda }^2\mathbf{x})={\lambda }^{2}A\mathbf{x}={\lambda }^3\mathbf{x}$。一般地 $A^k\mathbf{x}={\lambda }^k\mathbf{x}$（归纳可证）。也就是说：特征向量的身份在 $A$ 的幂下不变，特征值变成 $\lambda$ 的同次幂——这是幂法（5.8 节）的核心原理。

3. 是的，一定线性无关。 设 $c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+(c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4)=0$。同一特征值的特征向量的线性组合仍在该特征空间中，所以 $c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4$ 要么是 $0$，要么是 ${\lambda }_3$ 的特征向量。若它是 ${\lambda }_3$ 的特征向量，则由定理 2，$\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4\}$ 线性无关，迫使 $c_1=c_2=0$ 且 $c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4=0$，与它是特征向量矛盾。故 $c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4=0$，进而 $c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2=0$。由定理 2 得 $c_1=c_2=0$；又 $\{{\mathbf{b}}_3,{\mathbf{b}}_4\}$ 线性无关，得 $c_3=c_4=0$。四个系数全为零，故线性无关。

4. 因为 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，存在 ${\mathbb{R}}^n$ 中非零向量 $\mathbf{x}$ 使 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。两边同乘 2：$2(A\mathbf{x})=2(\lambda \mathbf{x})$，即 $(2A)\mathbf{x}=(2\lambda )\mathbf{x}$。所以 $2\lambda$ 是 $2A$ 的特征值。

图 5-6：原书习题 35 的示意图——$\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 分别是特征值 2 和 3 的特征向量

关于习题

原书 5.1 节习题 35 用上图练习”几何作图”：已知 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 是特征值 2 和 3 的特征向量，$\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$，要求在同一坐标系下画出 $T(\mathbf{u})=2\mathbf{u}$、$T(\mathbf{v})=3\mathbf{v}$ 并由线性性推出 $T(\mathbf{w})=2\mathbf{u}+3\mathbf{v}$——这正是”特征方向上只伸缩”的直接应用。其余习题列表见原书。

通关标准

• 给一个向量，能快速验证它是不是特征向量（算 $A\mathbf{x}$ 看是否为倍数）；
• 给一个数 $\lambda$，能通过判断 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 是否有非平凡解来确认它是不是特征值，并求出特征空间的一组基；
• 知道三角矩阵的特征值就是对角元；0 是特征值 $⟺$ 矩阵不可逆；
• 能复述并使用定理 2（互异特征值的特征向量线性无关）。

5.2 特征方程

矩阵 $A$ 的特征值被编码在一个特殊的标量方程——特征方程里。先用一个简单例子引出一般情形。

例 1 求 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -6\end{array}\right]$ 的特征值。

解：要找所有使 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 有非平凡解的 $\lambda$。由可逆矩阵定理，这等价于找所有使 $A-\lambda I$ 不可逆的 $\lambda$。而方阵不可逆当且仅当其行列式为零：

$$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 3& -6-\lambda \end{array}\right]=0$$

利用二阶行列式公式 $\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$：

$$\det (A-\lambda I)=(2-\lambda )(-6-\lambda )-3\cdot 3={\lambda }^2+4\lambda -21=(\lambda -3)(\lambda +7)$$

令其为零得 $\lambda =3$ 或 $\lambda =-7$。所以 $A$ 的特征值是 3 和 $-7$。■

行列式把含两个未知量（$\lambda$ 和 $\mathbf{x}$）的矩阵方程变成只含一个未知量的标量方程。同样的想法对任意 $n\times n$ 矩阵都成立，但先补充所需的行列式知识。

行列式

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，$U$ 是对 $A$ 只做行替换和行交换（不做倍乘缩放）得到的任一阶梯形，$r$ 为行交换次数。则 $A$ 的行列式 $\det A$ 等于 $(-1{)}^r$ 乘以 $U$ 的对角元之积：

$$\det A=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^r\cdot U\text{ 中主元的乘积},& A\text{ 可逆时}\\ 0,& A\text{ 不可逆时}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

例 2 求 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 2& 4& -1\\ 0& -2& 0\end{array}\right]$ 的行列式。

解：下面的行化简用了一次行交换：

$$A\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& -6& -1\\ 0& -2& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& -6& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]=U_1$$

所以 $\det A=(-1{)}^1(1)(-2)(-1)=-2$。若换一条路线避免行交换（最后一步把第 2 行的 $-1/3$ 倍加到第 3 行）：

$$A\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& -6& -1\\ 0& 0& 1/3\end{array}\right]=U_2$$

此时 $\det A=(-1{)}^0(1)(-6)(1/3)=-2$，结果一致。■

由公式 (1)，$A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne 0$。这与 5.1 节的结论一起并入可逆矩阵定理（续）：

定理（可逆矩阵定理（续））：设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则 $A$ 可逆当且仅当：s. 0 不是 $A$ 的特征值；t. $\det A\ne 0$。

几何直观：当 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵时，$\det A$ 恰好是 $A$ 的三个列向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ 张成的平行六面体的体积。体积非零当且仅当三列线性无关，即 $A$ 可逆。

图 5-7：$\det A$ 等于由列向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ 张成的平行六面体体积

定理 3（行列式的性质）：设 $A,B$ 为 $n\times n$ 矩阵。 a. $A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne 0$； b. $\det (AB)=(\det A)(\det B)$； c. $\det A^T=\det A$； d. 若 $A$ 是三角矩阵，则 $\det A$ 等于主对角元之积； e. 行替换不改变行列式；行交换使行列式变号；行的倍乘把行列式乘以同一倍数。

特征方程

由定理 3(a)，$A-\lambda I$ 不可逆当且仅当 $\det (A-\lambda I)=0$。标量方程

$$\det (A-\lambda I)=0$$

称为 $A$ 的特征方程。于是得到本章最重要的结论之一：

$\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征值当且仅当 $\lambda$ 满足特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$。

例 3 求 $A=\left[\begin{array}{cccc}5& -2& 6& -1\\ 0& 3& -8& 0\\ 0& 0& 5& 4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ 的特征方程。

解：构造 $A-\lambda I$，并用定理 3(d)（三角矩阵行列式 = 对角元之积）：

$$\det (A-\lambda I)=(5-\lambda )(3-\lambda )(5-\lambda )(1-\lambda )$$

特征方程为 $(5-\lambda {)}^2(3-\lambda )(1-\lambda )=0$，即 $(\lambda -5{)}^2(\lambda -3)(\lambda -1)=0$。展开也可写成

$${\lambda }^4-14{\lambda }^3+68{\lambda }^2-130\lambda +75=0$$

■

例 1 和例 3 中 $\det (A-\lambda I)$ 都是 $\lambda$ 的多项式。一般地，若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则 $\det (A-\lambda I)$ 是 $n$ 次多项式，称为 $A$ 的特征多项式。例 3 中特征值 5 出现了两次，称其**（代数）重数**为 2——重数即特征值作为特征方程根的重数。

例 4 某 $6\times 6$ 矩阵的特征多项式为 ${\lambda }^6-4{\lambda }^5-12{\lambda }^4$，求特征值及其重数。

解：因式分解：

$${\lambda }^6-4{\lambda }^5-12{\lambda }^4={\lambda }^4({\lambda }^2-4\lambda -12)={\lambda }^4(\lambda -6)(\lambda +2)$$

特征值为 0（重数 4）、6（重数 1）、$-2$（重数 1）。也可以按重数把特征值列表为 $0,0,0,0,6,-2$。■

$n\times n$ 矩阵的特征方程是 $n$ 次多项式方程，计入重数与复根后恰有 $n$ 个根。复根即复特征值，将在 5.5 节讨论；在那之前只考虑实特征值。

Warning

理论上特征方程很漂亮，实践中 $3\times 3$ 以上的矩阵应该交给计算机求特征值（除非矩阵是三角形的或有特殊结构）：三次多项式好列难分解；而且当 $n\ge 5$ 时根本没有求根的通用公式。MATLAB 等软件实际上反过来做：先算特征值，再展开 $(\lambda -{\lambda }_1)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)$ 得到特征多项式。

相似性

若存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$（等价地 $A=PB{P}^{-1}$），则称 $A$ 相似于 $B$；把 $A$ 变成 $P^{-1}AP$ 的操作叫相似变换。

定理 4：若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（连同相同的重数）。

证明：若 $B=P^{-1}AP$，则

$$B-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}(A-\lambda I)P$$

于是

$$\det (B-\lambda I)=\det (P^{-1})\cdot \det (A-\lambda I)\cdot \det (P)=\det (A-\lambda I)$$

因为 $\det (P^{-1})\det (P)=\det I=1$。■

Warning

1. 特征值相同不代表相似。 $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$ 特征值都是 2（重数 2），但二者不相似。
2. 相似不等于行等价。 对矩阵做行变换通常会改变它的特征值，千万不要用行化简去”求”特征值（呼应 5.1 的警告）。

应用于动力系统

特征值与特征向量是打开动力系统长期演化之谜的钥匙。

例 5 设 $A=\left[\begin{array}{cc}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]$，分析 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$、${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]$ 的长期行为。

解：第一步：求特征值与特征空间。特征方程：

$$0=\det \left[\begin{array}{cc}0.95-\lambda & 0.03\\ 0.05& 0.97-\lambda \end{array}\right]=(0.95-\lambda )(0.97-\lambda )-0.0015={\lambda }^2-1.92\lambda +0.92$$

由求根公式 $\lambda =\frac{1.92\pm \sqrt{0.0064}}{2}=1$ 或 $0.92$。容易验证对应特征向量分别是 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$（$\lambda =1$）与 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$（$\lambda =0.92$）的倍数。

第二步：把 ${\mathbf{x}}_0$ 用 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ 表示（它们显然构成 ${\mathbb{R}}^2$ 的一组基）：

$$\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& -1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0.60\\ 0.40\end{array}\right]=\frac{1}{-8}\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.60\\ 0.40\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.125\\ 0.225\end{array}\right]$$

第三步：利用 $A{\mathbf{v}}_1={\mathbf{v}}_1$、$A{\mathbf{v}}_2=0.92{\mathbf{v}}_2$，逐项迭代得显式公式：

$${\mathbf{x}}_k=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2(0.92{)}^k{\mathbf{v}}_2=0.125\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]+0.225(0.92{)}^k\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$

当 $k\to \infty$ 时 $(0.92{)}^k\to 0$，故 ${\mathbf{x}}_k\to \left[\begin{array}{c}0.375\\ 0.625\end{array}\right]=0.125{\mathbf{v}}_1$。■

这正是 4.9 节马尔可夫链稳态定理的”为什么”：稳态向量 $0.125{\mathbf{v}}_1$ 是特征值 1 的特征向量的倍数，而其余模小于 1 的特征值分量随迭代消失。

数值注记

• $n\ge 5$ 时不存在解特征方程的通用公式（阿贝尔定理的含义）；
• 优秀的数值方法完全绕开特征多项式：MATLAB 先算特征值再反推特征多项式；
• QR 算法等迭代方法（见 5.8 节与原书习题）通过不断做相似变换 $A_{k+1}=P_k^{-1}{A}_k{P}_k$，让非对角元趋于 0、对角元趋于特征值。

5.2 练习题（Practice Problem）

求 $A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 4& 2\end{array}\right]$ 的特征方程与特征值。

练习题解答

特征方程：

$$0=\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & -4\\ 4& 2-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda )(2-\lambda )+16={\lambda }^2-3\lambda +18$$

由求根公式 $\lambda =\frac{3\pm \sqrt{9-72}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{-63}}{2}$，无实根。所以 $A$ 没有实特征值：它作用在实向量空间 ${\mathbb{R}}^2$ 上，不存在非零实向量 $\mathbf{v}$ 使 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$。这个矩阵其实隐藏着一个旋转——5.5 节会揭开谜底。

通关标准

• 会用 $\det (A-\lambda I)=0$ 求 $2\times 2$（以及三角矩阵）的特征值；
• 理解”代数重数”的含义，能从特征多项式的因式分解读出全部特征值及重数；
• 记住相似矩阵同特征值（但反之不成立）、行变换会破坏特征值；
• 能用”分解 ${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2\Rightarrow {\mathbf{x}}_k=c_1{\lambda }_1^k{\mathbf{v}}_1+c_2{\lambda }_2^k{\mathbf{v}}_2$“分析 $2\times 2$ 动力系统的长期行为。

5.3 对角化

若能把矩阵 $A$ 分解成 $A=PD{P}^{-1}$（$D$ 为对角矩阵），那么 $A^k$ 的计算将变得极其轻松——这是线性代数最重要的应用思想之一，5.6、5.7 节将用它去”解耦”动力系统。

先看对角矩阵的幂有多好算。

例 1 若 $D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$，则 $D^2=\left[\begin{array}{cc}{5}^2& 0\\ 0& 3^2\end{array}\right]$，一般地 $D^k=\left[\begin{array}{cc}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]$（$k\ge 1$）。对角矩阵的幂就是各对角元分别取幂。■

例 2 设 $A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$，已知 $A=PD{P}^{-1}$，其中

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$$

求 $A^k$ 的公式。

解：先求 $P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$。利用结合律，中间的 $P^{-1}P$ 相互抵消：

$$A^2=(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})=PD(P^{-1}P)D{P}^{-1}=P{D}^2{P}^{-1}$$

一般地，对 $k\ge 1$：

$$A^k=P{D}^k{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\cdot 5^k-3^k& 5^k-3^k\\ 2\cdot 3^k-2\cdot 5^k& 2\cdot 3^k-5^k\end{array}\right]$$

不用做一次 $k$ 次矩阵乘法，就把 $A^{100}$ 这样的结果写成了公式。■

定义：若 $A$ 相似于某个对角矩阵，即 $A=PD{P}^{-1}$（$P$ 可逆，$D$ 对角），则称 $A$ 可对角化。

定理 5（对角化定理）：$n\times n$ 矩阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。此时 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $P$ 的列恰是 $A$ 的 $n$ 个线性无关特征向量，$D$ 的对角元是与 $P$ 各列依次对应的特征值。

换言之：$A$ 可对角化当且仅当特征向量够多到能拼成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基（称为特征向量基）。

证明：关键观察——若 $P$ 的列是 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$，$D$ 的对角元是 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，则

$$AP=[A{\mathbf{v}}_1\cdots A{\mathbf{v}}_n],PD=[{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1\cdots {\lambda }_n{\mathbf{v}}_n]$$

若 $A=PD{P}^{-1}$，两边右乘 $P$ 得 $AP=PD$，逐列比较得 $A{\mathbf{v}}_i={\lambda }_i{\mathbf{v}}_i$；由 $P$ 可逆知各列线性无关且非零，故它们确实是特征向量。反之，任取 $n$ 个特征向量排成 $P$、相应特征值排成 $D$，总有 $AP=PD$；若它们线性无关，则 $P$ 可逆，于是 $A=PD{P}^{-1}$。■

对角化的四步法

例 3 对角化 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$。

解：

第 1 步：求特征值。 特征方程 $0=\det (A-\lambda I)=-{\lambda }^3-3{\lambda }^2+4=-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2$，特征值为 $\lambda =1$ 与 $\lambda =-2$。

第 2 步：找三个线性无关特征向量（这是关键一步，若失败则 $A$ 不可对角化）。用 5.1 的方法求各特征空间的基：

$$\lambda =1:{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right];\lambda =-2:{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

可验证 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ 线性无关。

第 3 步：用特征向量构造 $P$（顺序不重要）：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$

第 4 步：用对应特征值构造 $D$（顺序必须与 $P$ 的列一一对应，$\lambda =-2$ 要用两次）：

$$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$

检验：不直接算 $P^{-1}$，改为验证 $AP=PD$：

$$AP=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ -1& -2& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right]=PD✓$$

（当然还要确认 $P$ 可逆，即三列线性无关。）■

例 4 对角化 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ -4& -6& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$。

解：特征方程与例 3 完全相同：$-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2=0$，特征值 1 和 $-2$。但这次每个特征空间都只有一维：

$$\lambda =1:{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right];\lambda =-2:{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right](\text{取其一})$$

没有其他特征值，$A$ 的每个特征向量都是 ${\mathbf{v}}_1$ 或 ${\mathbf{v}}_2$ 的倍数，无法用特征向量拼出 ${\mathbb{R}}^3$ 的基。由定理 5，$A$ 不可对角化。■

例 3 与例 4 对比鲜明：两个矩阵有完全相同的特征多项式，一个可对角化、一个不行。差别全在特征空间的维数上——$\lambda =-2$ 的代数重数是 2，例 3 中它的特征空间维数也是 2（几何重数跟上了），例 4 中只有 1（跟丢了）。

定理 6：若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 可对角化。

证明：$n$ 个互异特征值对应的特征向量线性无关（定理 2 与定理 5.1 节定理 2），故由定理 5 立得。■

注意定理 6 只是充分条件：有 $n$ 个互异特征值一定可对角化，但可对角化不要求互异——例 3 只有两个不同特征值照样可对角化。

例 5 判断 $A=\left[\begin{array}{ccc}5& -8& 1\\ 0& 0& 7\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$ 是否可对角化。

解：太简单了！$A$ 是三角矩阵，特征值为 5、0、$-2$，三个互异特征值，由定理 6 立即可对角化。■

特征值不互异的情形

定理 7：设 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的互异特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$。 a. 对每个 $k$，${\lambda }_k$ 的特征空间维数 $\le$ ${\lambda }_k$ 的（代数）重数； b. $A$ 可对角化 $⟺$ 各特征空间维数之和等于 $n$ $⟺$ 特征多项式完全分解为一次因式，且每个 ${\lambda }_k$ 的特征空间维数恰等于其重数； c. 把各特征空间的基全部并起来，就构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组特征向量基。

例 6 对角化 $A=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 1& 4& -3& 0\\ -1& -2& 0& -3\end{array}\right]$。

解：$A$ 是三角矩阵，特征值为 5 和 $-3$，各重数 2。求各特征空间的基：

$$\lambda =5:{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 0\\ 1\end{array}\right];\lambda =-3:{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

四个特征空间维数 $2+2=4=n$，且由定理 7(c) 它们合起来线性无关。于是 $P=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3{\mathbf{v}}_4]$ 可逆，

$$P=\left[\begin{array}{cccc}-8& -16& 0& 0\\ 4& 4& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& -3& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right]$$

$A=PD{P}^{-1}$。■

5.3 练习题（Practice Problems）

1. 计算 $A^8$，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right]$。

2. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}-3& 12\\ -2& 7\end{array}\right]$，已知 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 与 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ 是 $A$ 的特征向量，用它对角化 $A$。

3. 某 $4\times 4$ 矩阵特征值为 5、3、$-2$，且已知 $\lambda =3$ 的特征空间是二维的。能否判断 $A$ 可对角化？

练习题解答

1. 先对角化。$\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-3\lambda +2=(\lambda -2)(\lambda -1)$，特征值 2 和 1，对应特征向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$、${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$。取

$$P=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]$$

则 $A=PD{P}^{-1}$，于是

$$A^8=P{D}^8{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}256& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}766& -765\\ 510& -509\end{array}\right]$$

2. 先算出每个特征向量对应的特征值：

$$A{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{cc}-3& 12\\ -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=1\cdot {\mathbf{v}}_1,A{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right]=3\cdot {\mathbf{v}}_2$$

所以

$$A=PD{P}^{-1},P=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$$

（构造 $D$ 时特征值顺序必须与 $P$ 的列对应。）

3. 可以判断，$A$ 一定可对角化。 $\lambda =3$ 的特征空间二维，给出两个线性无关特征向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$；再为 $\lambda =5$ 和 $\lambda =-2$ 各取一个特征向量 ${\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4$。由定理 2 及 5.1 练习题 3 的推广，$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4\}$ 线性无关。${\mathbb{R}}^4$ 中不可能再有更多线性无关特征向量，所以 $\lambda =5$ 和 $-2$ 的特征空间都是一维的，特征空间维数总和 $2+1+1=4=n$，由定理 7(b) $A$ 可对角化。

通关标准

• 背下对角化四步法：求特征值 → 求各特征空间的基 → 拼 $P$ → 按列对应拼 $D$，并会用 $AP=PD$ 检验；
• 牢记唯一判据：$n$ 个线性无关特征向量（等价说法见定理 7b）；
• 明白”互异特征值 $\Rightarrow$ 可对角化”只是充分条件；重数对不上（几何重数 < 代数重数）才是不可对角化的典型原因。

5.4 特征向量与线性变换

本节要从线性变换的角度重新理解分解 $A=PD{P}^{-1}$：选对基之后，变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 与一个极简单的映射 $\mathbf{u}\mapsto D\mathbf{u}$ 本质上是同一个变换。

回忆 1.9 节：${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 的线性变换都可用矩阵左乘实现。现在要对任意两个有限维向量空间之间的线性变换做同样的事。

线性变换的矩阵

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$W$ 是 $m$ 维向量空间，$T:V\to W$ 是线性变换。给 $V$ 取基 $\mathcal{B}$、给 $W$ 取基 $\mathcal{C}$，任何 $\mathbf{x}\in V$ 都有坐标向量 $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}\in {\mathbb{R}}^n$，其像也有坐标向量 $[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}\in {\mathbb{R}}^m$。

图 5-8：从 $V$ 到 $W$ 的线性变换（借助坐标向量进入 ${\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m$）

两者的联系容易求出。设 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$，若 $\mathbf{x}=r_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +r_n{\mathbf{b}}_n$，则由 $T$ 的线性：

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=r_1[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}+\cdots +r_n[T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

即

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=M[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}},M=\left[\begin{array}{cccc}[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}& [T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}}& \cdots & [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

$M$ 称为 $T$ 相对于基 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 的矩阵。它把”求 $T(\mathbf{x})$“变成了纯矩阵乘法：先取坐标、左乘 $M$、再去解释。

图 5-9：$T$ 相对于基 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{C}$ 的矩阵 $M$

例 1 设 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ 是 $V$ 的基，$\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,{\mathbf{c}}_3\}$ 是 $W$ 的基，$T:V\to W$ 满足

$$T({\mathbf{b}}_1)=3{\mathbf{c}}_1-2{\mathbf{c}}_2+5{\mathbf{c}}_3,T({\mathbf{b}}_2)=4{\mathbf{c}}_1+7{\mathbf{c}}_2-{\mathbf{c}}_3$$

求 $T$ 相对于 $\mathcal{B},\mathcal{C}$ 的矩阵。

解：把像的 $\mathcal{C}$-坐标向量并排摆好即可：

$$[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right],[T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\\ -1\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 7\\ 5& -1\end{array}\right]$$

■

若 $\mathcal{B},\mathcal{C}$ 是同一空间 $V$ 的两组基且 $T$ 是恒等变换 $T(\mathbf{x})=\mathbf{x}$，则 $M$ 就是 4.7 节的坐标变换矩阵。

从 $V$ 到其自身的变换

最常见的情形是 $W=V$ 且 $\mathcal{C}=\mathcal{B}$。此时 $M$ 称为 $T$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的矩阵，记作 $[T{]}_{\mathcal{B}}$，满足

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}(\forall \mathbf{x}\in V)\text{\hspace{1em}(5)}$$

图 5-10：$V$ 到自身的线性变换与 $\mathcal{B}$-矩阵

例 2 映射 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{P}}_2$ 定义为

$$T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)=a_1+2a_{2}t$$

（学过微积分的同学一眼认出：这就是求导算子。） a. 求 $T$ 相对于基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ 的矩阵；b. 验证 $[T(\mathbf{p}){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[\mathbf{p}{]}_{\mathcal{B}}$。

解：a. 算基向量的像：

$$T(1)=0,T(t)=1,T(t^2)=2t$$

写出各自的 $\mathcal{B}$-坐标并并排：

$$[T(1){]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],[T(t){]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],[T(t^2){]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]\Rightarrow [T{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

b. 对 $\mathbf{p}(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2$：

$$[T(\mathbf{p}){]}_{\mathcal{B}}=[a_1+2a_{2}t{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ 2a_2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=[T{]}_{\mathcal{B}}[\mathbf{p}{]}_{\mathcal{B}}✓$$

图 5-11：线性变换的矩阵表示——坐标层面的乘法

${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换与对角化

应用问题中，${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换 $T$ 通常以矩阵变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 的面目出现。若 $A$ 可对角化，则 ${\mathbb{R}}^n$ 有由 $A$ 的特征向量组成的基，下一定理说明：此时 $T$ 的 $\mathcal{B}$-矩阵是对角矩阵。对角化 $A$ 的本质，就是给变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 找一个对角的矩阵表示。

定理 8（对角矩阵表示）：设 $A=PD{P}^{-1}$（$D$ 为对角矩阵）。若 $\mathcal{B}$ 是由 $P$ 的列组成的 ${\mathbb{R}}^n$ 的基，则 $D$ 是变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 的 $\mathcal{B}$-矩阵。

证明：记 $P$ 的列为 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$，则 $P$ 正是坐标变换矩阵：$P[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\mathbf{x}$，$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}\mathbf{x}$。若 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$，则

$$[T{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc}[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{B}}& \cdots & [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{B}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{P}^{-1}A{\mathbf{b}}_1& \cdots & P^{-1}A{\mathbf{b}}_n\end{array}\right]=P^{-1}AP$$

由 $A=PD{P}^{-1}$ 得 $[T{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}AP=D$。■

例 3 定义 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 为 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$，$A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$。求 ${\mathbb{R}}^2$ 的一组基 $\mathcal{B}$，使 $T$ 的 $\mathcal{B}$-矩阵是对角矩阵。

解：由 5.3 节例 2 知 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]$，$D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$。$P$ 的列是 $A$ 的特征向量，由定理 8，取 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$（即 $P$ 的两列），则 $T$ 的 $\mathcal{B}$-矩阵就是 $D$。也就是说，$\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{u}\mapsto D\mathbf{u}$ 是同一个线性变换在不同基下的两副面孔。■

矩阵表示的相似性

定理 8 的证明根本没用 ”$D$ 是对角的” 这一事实：只要 $A=PC{P}^{-1}$，$C$ 就是（以 $P$ 的列为基 $\mathcal{B}$ 时）变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 的 $\mathcal{B}$-矩阵。反过来，对任意基 $\mathcal{B}$，$[T{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}AP$ 都与 $A$ 相似。结论：与 $A$ 相似的全部矩阵 = 变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 的全部矩阵表示。

图 5-12：两个矩阵表示的相似关系 $A=PC{P}^{-1}$

例 4 设 $A=\left[\begin{array}{cc}4& -9\\ 4& -8\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$。$A$ 的特征多项式为 $(\lambda +2{)}^2$，但特征值 $-2$ 的特征空间只有一维，所以 $A$ 不可对角化。不过基 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ 能让 $\mathcal{B}$-矩阵成为三角矩阵——称为 $A$ 的若尔当形。求这个 $\mathcal{B}$-矩阵。

解：$P=[{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2]$，$\mathcal{B}$-矩阵为 $P^{-1}AP$。先算 $AP$：

$$AP=\left[\begin{array}{cc}4& -9\\ 4& -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& -1\\ -4& 0\end{array}\right]$$

再左乘 $P^{-1}$（$P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]$）：

$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-6& -1\\ -4& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -2\end{array}\right]$$

注意特征值 $-2$ 出现在对角线上。■

数值注记

计算 $\mathcal{B}$-矩阵 $P^{-1}AP$ 的高效方法：先算 $AP$，再对增广矩阵 $[PAP]$ 做行化简得 $[I{P}^{-1}AP]$——不必单独求 $P^{-1}$。

5.4 练习题（Practice Problems）

1. 若 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{P}}_2$ 相对于基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ 的矩阵为

$$[T{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ 0& 5& -1\\ 1& -2& 7\end{array}\right]$$

求 $T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)$。

2. 验证：“相似于”是等价关系：(a) $A$ 相似于 $A$；(b) $A$ 相似于 $B$、$B$ 相似于 $C$，则 $A$ 相似于 $C$。

练习题解答

1. 设 $\mathbf{p}(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2$，则

$$[T(\mathbf{p}){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[\mathbf{p}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ 0& 5& -1\\ 1& -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3a_0+4a_1\\ 5a_1-a_2\\ a_0-2a_1+7a_2\end{array}\right]$$

所以 $T(\mathbf{p})=(3a_0+4a_1)+(5a_1-a_2)t+(a_0-2a_1+7a_2)t^2$。注意 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ 的第 $j$ 列就是 $T({\mathbf{b}}_j)$ 的坐标。

2. (a) $A=I^{-1}AI$，故 $A$ 相似于自身。(b) 由条件存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 $B=P^{-1}AP$、$C=Q^{-1}BQ$。代入并利用 $(PQ{)}^{-1}=Q^{-1}{P}^{-1}$：

$$C=Q^{-1}(P^{-1}AP)Q=(PQ{)}^{-1}A(PQ)$$

这正是”$A$ 相似于 $C$“的形式。

通关标准

• 会构造 $T$ 相对于给定基的矩阵（把 $T({\mathbf{b}}_j)$ 的坐标当列）；
• 理解定理 8 的双重含义：$P$ 的列 = 特征向量基，$D$ = 对角矩阵表示；
• 能说出”所有与 $A$ 相似的矩阵都是同一个变换在不同基下的表示”，并明白不可对角化时退而求其次可得（若尔当）三角表示。

5.5 复特征值

实矩阵的特征方程也可能没有实根。要读懂这些”隐藏信息”，就得让 $A$ 作用在复向量空间 ${\mathbb{C}}^n$ 上——许多涉及周期运动、振动、旋转的真实系统都依赖这套理论。

好消息是：前面为 ${\mathbb{R}}^n$ 建立的特征值—特征向量理论原封不动地搬到 ${\mathbb{C}}^n$。复标量 $\lambda$ 满足 $\det (A-\lambda I)=0$ 当且仅当存在非零复向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^n$ 使 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。

例 1 设 $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$。$\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 把平面逆时针旋转 90°，转四次回到原处。显然没有非零向量被转到自己的倍数方向上，所以 $A$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中没有特征向量、没有实特征值。特征方程为 ${\lambda }^2+1=0$，根是复数 $\lambda =i$ 与 $\lambda =-i$。但若允许 $A$ 作用在 ${\mathbb{C}}^2$ 上：

$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right]=i\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-i\\ 1\end{array}\right]=-i\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]$$

所以 $i$ 和 $-i$ 是（复）特征值，对应特征向量为 $\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]$。■

例 2 设 $A=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]$，求 $A$ 的特征值及各特征空间的基。

解：特征方程：

$$0=\det \left[\begin{array}{cc}0.5-\lambda & -0.6\\ 0.75& 1.1-\lambda \end{array}\right]={\lambda }^2-1.6\lambda +1$$

求根公式：$\lambda =\frac{1.6\pm \sqrt{(-1.6{)}^2-4}}{2}=0.8\pm 0.6i$。

对 $\lambda =0.8-0.6i$ 构造 $A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}-0.3+0.6i& -0.6\\ 0.75& 0.3+0.6i\end{array}\right]$。含复数的手工行化简很痛苦，但有个漂亮的观察：既然 $\lambda$ 是特征值，方程组

$$(-0.3+0.6i)x_1-0.6x_2=0,0.75x_1+(0.3+0.6i)x_2=0$$

必有非平凡解，因此两个方程给出同一个 $x_1,x_2$ 之间的关系，随便用哪个都行。用第二个：

$$0.75x_1=(-0.3-0.6i)x_2\Rightarrow x_1=(-0.4-0.8i)x_2$$

取 $x_2=5$ 消去小数，得 $x_1=-2-4i$。于是 $\lambda =0.8-0.6i$ 的特征空间基为

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-2-4i\\ 5\end{array}\right]$$

对 $\lambda =0.8+0.6i$ 同理得 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-2+4i\\ 5\end{array}\right]$。验证：$A{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-4+2i\\ 4+3i\end{array}\right]=(0.8+0.6i){\mathbf{v}}_2$ ✓。■

例 3 取初始点 ${\mathbf{x}}_0=(2,0)$，反复乘 $A$：${\mathbf{x}}_1=A{\mathbf{x}}_0=(1.0,1.5)$，${\mathbf{x}}_2=A{\mathbf{x}}_1=(-0.4,2.4)$……把 ${\mathbf{x}}_0,\dots ,{\mathbf{x}}_8$ 及后续迭代点画出来，序列沿一条椭圆轨道绕原点旋转——出人意料：特征值为复数的实矩阵，其作用本质上是一个旋转！

图 5-13：复特征值矩阵作用下点 ${\mathbf{x}}_0$ 的迭代轨道（椭圆）

向量的实部与虚部

复向量 $\mathbf{x}$ 的共轭 $\overline{\mathbf{x}}$ 是把每个分量取共轭得到的向量；实部 $\mathrm{Re}\mathbf{x}$ 与虚部 $\mathrm{Im}\mathbf{x}$ 是由各分量的实部/虚部组成的实向量。

例 4 若 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3-i\\ i\\ 2+5i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right]$，则

$$\mathrm{Re}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right],\mathrm{Im}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right],\overline{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}3+i\\ -i\\ 2-5i\end{array}\right]$$

共轭运算与矩阵运算兼容：$\overline{r\mathbf{x}}=\overline{r}\overline{\mathbf{x}}$，$\overline{B\mathbf{x}}=\overline{B}\overline{\mathbf{x}}$，$\overline{BC}=\overline{B}\overline{C}$，$\overline{rB}=\overline{r}\overline{B}$。■

实矩阵的复特征值成对共轭出现

若 $A$ 是实矩阵，$\lambda$ 是特征值、$\mathbf{x}$ 是相应特征向量，则对两边取共轭并用 $\overline{A}=A$：

$$A\overline{\mathbf{x}}=\overline{A\mathbf{x}}=\overline{\lambda \mathbf{x}}=\overline{\lambda }\overline{\mathbf{x}}$$

所以 $\overline{\lambda }$ 也是特征值，$\overline{\mathbf{x}}$ 是相应特征向量。实矩阵的复特征值与特征向量总是成对共轭出现（$\lambda =a+bi,b\ne 0$ 时）。

例 5 例 2 的两个特征值 $0.8-0.6i$ 与 $0.8+0.6i$ 互为共轭，对应的特征向量 ${\mathbf{v}}_1$ 与 ${\mathbf{v}}_2={\overline{\mathbf{v}}}_1$ 也互为共轭。■

基本构件：形如 $\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ 的矩阵

例 6 设 $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$（$a,b$ 为实数且不全为零），则 $C$ 的特征值为 $\lambda =a\pm bi$（本节练习题会证明）。令 $r=|\lambda |=\sqrt{a^2+b^2}$，则

$$C=\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]$$

其中 $\phi$ 是从正 $x$ 轴到射线 $(0,0)\to (a,b)$ 的角度（称为 $\lambda =a+bi$ 的辐角）。所以 $\mathbf{x}\mapsto C\mathbf{x}$ = 先旋转角 $\phi$，再缩放 $|\lambda |$ 倍。

图 5-14：矩阵 $C$ 的旋转角 $\phi$（复特征值的辐角）

图 5-15：先旋转、后缩放

现在可以揭开藏在复特征值里的旋转了。

例 7 沿用例 2 的 $A$、$\lambda =0.8-0.6i$、${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-2-4i\\ 5\end{array}\right]$。构造实矩阵

$$P=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}{\mathbf{v}}_1& \mathrm{Im}{\mathbf{v}}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& -4\\ 5& 0\end{array}\right]$$

并计算

$$C=P^{-1}AP=\frac{1}{20}\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ -5& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& -4\\ 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.6\\ 0.6& 0.8\end{array}\right]$$

由例 6，$C$ 是纯旋转，因为 $|\lambda {|}^2=0.8^2+0.6^2=1$。由 $C=P^{-1}AP$ 得

$$A=PC{P}^{-1}=P\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.6\\ 0.6& 0.8\end{array}\right]P^{-1}$$

——旋转就”藏在” $A$ 内部！做变量替换 $\mathbf{x}=P\mathbf{u}$ 后，$A$ 的作用 = 换到 $\mathbf{u}$ 坐标 → 旋转 → 换回 $\mathbf{x}$ 坐标。轨道呈椭圆而非正圆，是因为 $P$ 的两列构成的坐标系不是等长的直角坐标系。

图 5-16：复特征值带来的旋转（藏在 $A$ 内部）

定理 9：设 $A$ 是有复特征值 $\lambda =a-bi(b\ne 0)$ 的实 $2\times 2$ 矩阵，$\mathbf{v}\in {\mathbb{C}}^2$ 是相应特征向量。则

$$A=PC{P}^{-1},P=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\mathbf{v}& \mathrm{Im}\mathbf{v}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$$

（证明利用 $A(\mathrm{Re}\mathbf{x})=\mathrm{Re}(A\mathbf{x})$、$A(\mathrm{Im}\mathbf{x})=\mathrm{Im}(A\mathbf{x})$，以及 $\mathrm{Re}\mathbf{v}$ 与 $\mathrm{Im}\mathbf{v}$ 线性无关。）

图 5-17：定理 9 的分解——特征值实部 $a$ 决定伸缩、虚部 $b$ 决定旋转角

高维情形同样如此：若 $3\times 3$ 实矩阵有复特征值，则 ${\mathbb{R}}^3$ 中存在一个平面，$A$ 在该平面上就是旋转（可带缩放），且该平面在 $A$ 下不变。

例 8 矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0.8& -0.6& 0\\ 0.6& 0.8& 0\\ 0& 0& 1.07\end{array}\right]$ 的特征值为 $0.8\pm 0.6i$ 和 1.07。$x_1{x}_2$-平面上的向量被 $A$ 在平面内旋转；平面外的向量，其 $x_3$ 坐标被乘以 1.07（螺旋上升）。■

5.5 练习题（Practice Problem）

证明：若 $a,b$ 为实数，则 $A=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ 的特征值为 $a\pm bi$，对应特征向量为 $\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]$。

练习题解答

判断特征向量根本不用碰特征方程，直接验证定义：

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a+bi\\ b-ai\end{array}\right]=(a+bi)\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$$

所以 $\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$ 是 $\lambda =a+bi$ 的特征向量。由共轭成对原理，$\overline{\lambda }=a-bi$ 也是特征值，$\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]=\overline{\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]}$ 是相应特征向量。

通关标准

• 会求 $2\times 2$ 实矩阵的复特征值（求根公式）和复特征空间的一组基（利用”两行等价”的技巧避开复数行化简）；
• 记住实矩阵的复特征值/特征向量共轭成对；
• 掌握定理 9：$P=[\mathrm{Re}\mathbf{v}\mathrm{Im}\mathbf{v}]$，$C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$，并能把 $A$ 的作用解读为”旋转 $\times$ 缩放 $|\lambda |$”；
• 理解动力系统里的几何语言：$|\lambda |=1$ 椭圆轨道，$|\lambda |>1$ 外旋，$|\lambda |<1$ 内旋。

5.6 离散动力系统

特征值与特征向量是理解差分方程 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 长期行为的钥匙——无论是人口迁移、马尔可夫链，还是本章开头的斑点猫头鹰模型，${\mathbf{x}}_k$ 记录着系统在时刻 $k$ 的状态。

应用背景

本节以生态问题为例，因为它们最直观。但动力系统遍布各个学科：控制理论课程里的现代状态空间设计方法就大量依赖矩阵代数，工程上所说的”稳态响应”正是这里的”长期行为”。

特征向量分解决定一切

设 $A$ 可对角化，有线性无关特征向量 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ 及相应特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，且按 $|{\lambda }_1|\ge |{\lambda }_2|\ge \cdots \ge |{\lambda }_n|$ 排列。任何初始向量都能唯一分解：

$${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n\text{\hspace{1em}(1)}$$

由于 $A{\mathbf{v}}_i={\lambda }_i{\mathbf{v}}_i$，逐次迭代得

$${\mathbf{x}}_k=c_1({\lambda }_1{)}^k{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_n({\lambda }_n{)}^k{\mathbf{v}}_n(k=0,1,2,\dots )\text{\hspace{1em}(2)}$$

这个公式把系统的未来完全摊开了：每一项按 ${\lambda }_i^k$ 独立演化。当 $k\to \infty$ 会发生什么，就看各 $|{\lambda }_i|$ 与 1 的大小关系。

图 5-18：捕食者—猎物系统：斑点猫头鹰以林鼠为主要食物

捕食者—猎物系统

例 1 加州红杉林中，林鼠为斑点猫头鹰提供多达 80% 的食物。设 ${\mathbf{x}}_k=\left[\begin{array}{c}{O}_k\\ R_k\end{array}\right]$，$O_k$ 为猫头鹰数量，$R_k$ 为林鼠数量（千只），模型为

$$O_{k+1}=0.5O_k+0.4R_k,R_{k+1}=-p\cdot O_k+1.1R_k\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $p$ 是捕食参数：没有鼠时每月一半的猫头鹰存活；没有鹰时鼠群每月增长 10%；$0.4R_k$ 表示食物充足时鹰群上升；$-p{O}_k$ 表示被鹰捕食的鼠（$1000p$ ≈ 一只鹰一个月吃掉的老鼠数）。取 $p=0.104$，分析系统演化。

解：系数矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=1.02$、${\lambda }_2=0.58$，对应特征向量

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}10\\ 13\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right]$$

把 ${\mathbf{x}}_0$ 分解为 ${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$，则

$${\mathbf{x}}_k=c_1(1.02{)}^k\left[\begin{array}{c}10\\ 13\end{array}\right]+c_2(0.58{)}^k\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right]$$

$k\to \infty$ 时 $(0.58{)}^k\to 0$。设 $c_1>0$，则充分大的 $k$ 之后：

$${\mathbf{x}}_k\approx c_1(1.02{)}^k\left[\begin{array}{c}10\\ 13\end{array}\right],{\mathbf{x}}_{k+1}\approx 1.02{\mathbf{x}}_k$$

即最终每月鹰和鼠都按约 2% 增长；且 ${\mathbf{x}}_k$ 的两个分量之比趋近 $10:13$——每 10 只鹰对应约 1.3 万只鼠。■

例 1 体现了一般规律：若 $|{\lambda }_1|\ge 1$ 而其余 $|{\lambda }_j|<1$，且 $c_1\ne 0$，则充分大的 $k$ 时

$${\mathbf{x}}_{k+1}\approx {\lambda }_1{\mathbf{x}}_k,{\mathbf{x}}_k\approx c_1({\lambda }_1{)}^k{\mathbf{v}}_1$$

${\lambda }_1$ 决定系统的最终增长率，${\mathbf{v}}_1$ 决定最终的分量比例。

解的图形描述

$A$ 为 $2\times 2$ 时，可以把 ${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots$ 的图像（称为轨道）画出来，直观地看系统的走向。

例 2 画 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 的若干轨道，$A=\left[\begin{array}{cc}0.80& 0\\ 0& 0.64\end{array}\right]$。

解：特征值 0.8 与 0.64，特征向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$、${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。若 ${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$，则 ${\mathbf{x}}_k=c_1(0.8{)}^k\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+c_2(0.64{)}^k\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\to 0$。两个特征值的模都小于 1 时，原点称为系统的吸引子：所有轨道都奔向原点，其中吸引最强的方向是模较小特征值的特征向量所在直线（$x_2$ 轴）。

图 5-19：原点作为吸引子（所有轨道收向 0）

例 3 画 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 的典型轨道，$A=\left[\begin{array}{cc}1.44& 0\\ 0& 1.2\end{array}\right]$。

解：特征值 1.44 与 1.2 都大于 1，除零解外一切解都发散远离原点。原点称为排斥子，排斥最强的方向是模较大特征值的特征向量所在直线。

图 5-20：原点作为排斥子（轨道四散离去）

例 4 画 ${\mathbf{y}}_{k+1}=D{\mathbf{y}}_k$ 的典型轨道，$D=\left[\begin{array}{cc}2.0& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$，并证明初始点不在 $x_2$-轴上的解都无界。

解：特征值 2 与 0.5。若 ${\mathbf{y}}_0=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$，则

$${\mathbf{y}}_k=c_1{2}^k\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+c_2(0.5{)}^k\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$

${\mathbf{y}}_0$ 在 $x_2$-轴上时 $c_1=0$，${\mathbf{y}}_k\to 0$；否则第一项无限增大，解无界。这种”有的方向吸、有的方向斥”的原点称为鞍点：一个特征值模大于 1、另一个小于 1 时出现。最强吸引方向 = 小模特征值的特征向量方向；最强排斥方向 = 大模特征值的特征向量方向。

图 5-21：原点作为鞍点（沿一个轴被吸入、沿另一个轴被弹出）

换元解耦

上面三个例子的 $A$ 都是对角的。对非对角但可对角化的 $A$：取 $P=[{\mathbf{v}}_1\cdots {\mathbf{v}}_n]$，$D$ 为相应特征值构成的对角矩阵。令 ${\mathbf{y}}_k=P^{-1}{\mathbf{x}}_k$（即 ${\mathbf{x}}_k=P{\mathbf{y}}_k$），代入 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$：

$$P{\mathbf{y}}_{k+1}=AP{\mathbf{y}}_k=(PD{P}^{-1})P{\mathbf{y}}_k=PD{\mathbf{y}}_k\Rightarrow {\mathbf{y}}_{k+1}=D{\mathbf{y}}_k$$

各分量彻底解耦：$y_1(k+1)={\lambda }_1{y}_1(k)$，互不干扰。${\mathbf{y}}_k$ 其实就是 ${\mathbf{x}}_k$ 在特征向量基下的坐标向量——$n=2$ 时相当于把坐标纸的轴换到两个特征向量方向上再画图。

例 5 证明 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$（$A=\left[\begin{array}{cc}1.25& -0.75\\ -0.75& 1.25\end{array}\right]$）的原点是鞍点，并求最强吸引/排斥方向。

解：$A$ 的特征值为 2 与 0.5，特征向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$、${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$。因 $|2|>1$、$|0.5|<1$，原点是鞍点。若 ${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$，则

$${\mathbf{x}}_k=c_1{2}^k{\mathbf{v}}_1+c_2(0.5{)}^k{\mathbf{v}}_2\text{\hspace{1em}(9)}$$

在过 0 与 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 的”斜坐标纸”上，图形与例 4 完全同构：最强排斥方向是过 ${\mathbf{v}}_1$ 的直线（$\lambda =2$），最强吸引方向是过 ${\mathbf{v}}_2$ 的直线（$\lambda =0.5$）。

图 5-22：用特征向量方向作坐标轴后，鞍点图样与对角情形一模一样

复特征值的情形

实 $2\times 2$ 矩阵若有复特征值，在 ${\mathbb{R}}^2$ 上不可对角化，但轨道照样好描述：特征值模为 1 时绕原点沿椭圆轨道旋转（5.5 节例 3）；模大于 1 时向外螺旋，原点是排斥子；模小于 1 时向内螺旋，原点是吸引子。

例 6 可验证 $A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.5\\ -0.1& 1.0\end{array}\right]$ 的特征值为 $0.9\pm 0.2i$（模 $\approx 0.92<1$）。图中三条轨道的初始向量分别为 $\left[\begin{array}{c}0.7\\ 2.5\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{c}0\\ -2.5\end{array}\right]$，全部向内螺旋收缩。

图 5-23：复特征值对应的向内螺旋轨道

斑点猫头鹰的命运

回到引入例：阶段矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0.33\\ 0.18& 0& 0\\ 0& 0.71& 0.94\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$

计算得特征值约为 ${\lambda }_1=0.98$、${\lambda }_2=-0.02+0.21i$、${\lambda }_3=-0.02-0.21i$。三个特征值的模都小于 1（$|{\lambda }_2{|}^2=|{\lambda }_3{|}^2=(-0.02{)}^2+0.21^2=0.0445$）。在 ${\mathbb{C}}^3$ 中三个互异特征值给出线性无关的特征向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$，通解为

$${\mathbf{x}}_k=c_1({\lambda }_1{)}^k{\mathbf{v}}_1+c_2({\lambda }_2{)}^k{\mathbf{v}}_2+c_3({\lambda }_3{)}^k{\mathbf{v}}_3\text{\hspace{1em}(11)}$$

虽然右端是复向量的和，但由于 $A$ 和 ${\mathbf{x}}_0$ 是实的，每个 ${\mathbf{x}}_k$ 都是实向量。三项全都趋于零向量，所以 ${\mathbf{x}}_k\to 0$——这个模型预测斑点猫头鹰终将灭绝。

还有希望吗？18% 那一项的来历是：60% 的幼鸟能离巢，但其中只有 30% 能找到新领地（林中皆伐空地使迁徙危险陡增）。若栖息地管理得当，存活率可以提高。

例 7 假设幼鸟搜寻存活率提高到 50%，即 $A$ 中 $(2,1)$ 元从 0.18 变为 0.3，模型有何预言？

解：新的特征值约为 ${\lambda }_1=1.01$、${\lambda }_2=-0.03+0.26i$、${\lambda }_3=-0.03-0.26i$。${\lambda }_1$ 的特征向量约为 ${\mathbf{v}}_1=(10,3,31)$。由公式 (11)，后两项随 $k\to \infty$ 消失，${\mathbf{x}}_k$ 越来越像 $c_1(1.01{)}^k{\mathbf{v}}_1$（可证 ${\mathbf{x}}_0$ 非负时 $c_1>0$）。于是猫头鹰种群将缓慢增长，长期增长率 1.01；最终各阶段比例为：每 31 只成鸟对应约 10 只幼鸟和 3 只亚成鸟。只需把一个参数从 0.18 提到 0.30，命运就完全翻转——这就是特征值分析的威力。■

5.6 练习题（Practice Problems）

1. 矩阵 $A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}7& -2& 0\\ -2& 6& 2\\ 0& 2& 5\end{array}\right]$ 的特征值为 $1,\frac{2}{3},\frac{1}{3}$，对应特征向量

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right]$$

求 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 当 ${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\\ -2\end{array}\right]$ 时的解。

2. 上述 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 当 $k\to \infty$ 时如何？

练习题解答

1. 第一步：把 ${\mathbf{x}}_0$ 写成 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 的线性组合。对 $[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3{\mathbf{x}}_0]$ 行化简得权重 $c_1=2$、$c_2=1$、$c_3=3$：

$${\mathbf{x}}_0=2{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2+3{\mathbf{v}}_3$$

于是通解为

$${\mathbf{x}}_k=2\cdot 1^k\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right]+{\left(\frac{2}{3}\right)}^k\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]+3{\left(\frac{1}{3}\right)}^k\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right]$$

2. $k\to \infty$ 时后两项趋于零向量：

$${\mathbf{x}}_k\to 2{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$

（特征值为 1 的那一份保留下来，正是”稳态”的来源。）

通关标准

• 会用公式 (2) 写出动力系统的显式解，并据此判断 $k\to \infty$ 时的行为；
• 会分类原点：全部 $|\lambda |<1$ → 吸引子；全部 $|\lambda |>1$ → 排斥子；一个大于 1 一个小于 1 → 鞍点（复特征值则看模，轨道为螺旋）；
• 能说出最强吸引/排斥方向对应哪条特征向量直线；
• 理解斑点猫头鹰例子的完整逻辑链：存活率 → 特征值 → 增长或灭绝。

5.7 微分方程的应用

5.6 节处理的是离散时间（差分方程）；当若干量随时间连续变化时，得到线性微分方程组：

$$\begin{array}{rl}{x}_1^{\prime }& =a_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ & ⋮\\ x_n^{\prime }& =a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}⟺{\mathbf{x}}^{\prime }(t)=A\mathbf{x}(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $x_1,\dots ,x_n$ 是 $t$ 的可微函数。求导与矩阵乘法都是线性运算，所以解的线性组合仍是解（工程师称之为叠加原理）：若 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 是解，则 $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ 也是解。

微分方程理论保证 (1) 存在基本解组：$n$ 个线性无关的解，任何解都是它们的唯一线性组合；指定 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 的初值问题有唯一解。

特征函数：微分方程的”积木”

当 $A$ 是对角矩阵时中学微积分就能解：比如 $x_1^{\prime }=3x_1$、$x_2^{\prime }=-5x_2$ 是解耦的，解为 $x_1(t)=c_1{e}^{3t}$、$x_2(t)=c_2{e}^{-5t}$。这启发我们猜测 (1) 有形如

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}{e}^{\lambda t}\text{\hspace{1em}(4)}$$

的解（$\mathbf{v}$ 为固定非零向量）。求导得 ${\mathbf{x}}^{\prime }(t)=\lambda \mathbf{v}{e}^{\lambda t}$，而 $A\mathbf{x}(t)=A\mathbf{v}{e}^{\lambda t}$；因 $e^{\lambda t}$ 恒不为零，${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ 当且仅当 $\lambda \mathbf{v}=A\mathbf{v}$——$\lambda$ 是特征值、$\mathbf{v}$ 是特征向量。每个特征值—特征向量对给出一个解 (4)，称为微分方程的特征函数。

例 1 下图的电路可用微分方程描述：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }(t)\\ x_2^{\prime }(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-(1/R_1+1/R_2)/C_1& 1/(R_2{C}_1)\\ 1/(R_2{C}_2)& -1/(R_2{C}_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]$$

图 5-24：例 1 中的双电容电路

设 $R_1=1\Omega$，$R_2=2\Omega$，$C_1=1$ F，$C_2=0.5$ F，初始电压 $x_1(0)=5$ V、$x_2(0)=4$ V。求电压随时间变化的公式。

解：代入数据得 $A=\left[\begin{array}{cc}-1.5& 0.5\\ 1& -1\end{array}\right]$，$\mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]$。$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=-0.5$、${\lambda }_2=-2$，对应特征向量

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$

特征函数的线性组合仍是解，设 $\mathbf{x}(t)=c_1{\mathbf{v}}_1{e}^{-0.5t}+c_2{\mathbf{v}}_2{e}^{-2t}$，由 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$：

$$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]\Rightarrow c_1=3,c_2=-2$$

所以

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]e^{-0.5t}-2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]e^{-2t}=\left[\begin{array}{c}3e^{-0.5t}+2e^{-2t}\\ 6e^{-0.5t}-2e^{-2t}\end{array}\right]$$

两个特征函数都衰减到零，但 $e^{-2t}$ 衰减更快：若初始电压大小相等、符号相反，电压将以最快速度归零。■

$\mathbf{x}(t)$ 的图像（轨道）如下图：原点称为吸引子（汇），最强吸引方向是更负特征值 $-2$ 的特征函数所在直线（过 0 与 ${\mathbf{v}}_2$）；其他轨道因 ${\mathbf{v}}_2$ 分量迅速衰减而渐近于过 ${\mathbf{v}}_1$ 的直线。

图 5-25：微分方程系统的吸引子轨道

若特征值全为正，轨道形状相同但方向朝外，原点称为排斥子（源），最强排斥方向对应最正的特征值。

例 2 粒子在平面力场中运动，位置向量满足 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$，$\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$：

$$A=\left[\begin{array}{cc}4& -5\\ -2& 1\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}2.9\\ 2.6\end{array}\right]$$

解初值问题并画出轨迹。

解：$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=6$、${\lambda }_2=-1$，特征向量 ${\mathbf{v}}_1=(-5,2)$、${\mathbf{v}}_2=(1,1)$。设

$$\mathbf{x}(t)=c_1\left[\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right]e^{6t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-t},c_1\left[\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2.9\\ 2.6\end{array}\right]$$

解得 $c_1=-3/70$，$c_2=188/70$：

$$\mathbf{x}(t)=-\frac{3}{70}\left[\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right]e^{6t}+\frac{188}{70}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-t}$$

正、负特征值并存时原点是鞍点：最强排斥方向为正特征值对应的 ${\mathbf{v}}_1$ 直线，最强吸引方向为负特征值对应的 ${\mathbf{v}}_2$ 直线。一些轨迹先靠近原点再折返离去。

图 5-26：微分方程系统的鞍点轨道

解耦动力系统

若 $A$ 可对角化，特征函数 ${\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t},\dots ,{\mathbf{v}}_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$（${\mathbf{v}}_i$ 线性无关）就构成基本解组。令 $P=[{\mathbf{v}}_1\cdots {\mathbf{v}}_n]$、$A=PD{P}^{-1}$，做变量替换 $\mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)$（即 $\mathbf{y}$ 是 $\mathbf{x}$ 在特征向量基下的坐标）：

$$P{\mathbf{y}}^{\prime }=A(P\mathbf{y})=PD\mathbf{y}\Rightarrow {\mathbf{y}}^{\prime }=D\mathbf{y}$$

系统被解耦成 $y_1^{\prime }={\lambda }_1{y}_1,\dots ,y_n^{\prime }={\lambda }_n{y}_n$，逐个解出 $y_i(t)=c_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$，其中 $\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=P^{-1}{\mathbf{x}}_0$。换回原坐标：

$$\mathbf{x}(t)=c_1{\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$$

正是例 1 的特征函数展开。

复特征值

实矩阵的复特征值 $\lambda$、$\overline{\lambda }$ 与共轭特征向量 $\mathbf{v}$、$\overline{\mathbf{v}}$ 给出两个复解 ${\mathbf{x}}_1(t)=\mathbf{v}{e}^{\lambda t}$、${\mathbf{x}}_2(t)=\overline{\mathbf{v}}{e}^{\overline{\lambda }t}$。利用幂级数 $e^{(a+bi)t}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)$，可以把 ${\mathbf{x}}_1$ 拆成两个实解：

$${\mathbf{y}}_1(t)=\mathrm{Re}{\mathbf{x}}_1(t)=\left[(\mathrm{Re}\mathbf{v})\cos bt-(\mathrm{Im}\mathbf{v})\sin bt\right]e^{at}$$ $${\mathbf{y}}_2(t)=\mathrm{Im}{\mathbf{x}}_1(t)=\left[(\mathrm{Re}\mathbf{v})\sin bt+(\mathrm{Im}\mathbf{v})\cos bt\right]e^{at}$$

（$b\ne 0$ 时二者线性无关。）正弦、余弦的出现，正是旋转的来源。

例 3 下图的电路满足

$$\left[\begin{array}{c}{i}_L^{\prime }\\ v_C^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-R_2/L& -1/L\\ 1/C& -1/(R_{1}C)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ v_C\end{array}\right]$$

图 5-27：例 3 中的电感—电容电路

设 $R_1=5\Omega$，$R_2=0.8\Omega$，$C=0.1$ F，$L=0.4$ H，初始电流 3 A，初始电压 3 V，求 $i_L(t)$ 与 $v_C(t)$。

解：代入得 $A=\left[\begin{array}{cc}-2& -2.5\\ 10& -2\end{array}\right]$，${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$。复特征值 $\lambda =-2+5i$，特征向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}i\\ 2\end{array}\right]$。复解为

$${\mathbf{x}}_1(t)=\left[\begin{array}{c}i\\ 2\end{array}\right]e^{-2t}(\cos 5t+i\sin 5t)$$

取实部、虚部得两个实解：

$${\mathbf{y}}_1(t)=\left[\begin{array}{c}-\sin 5t\\ 2\cos 5t\end{array}\right]e^{-2t},{\mathbf{y}}_2(t)=\left[\begin{array}{c}\cos 5t\\ 2\sin 5t\end{array}\right]e^{-2t}$$

通解 $\mathbf{x}(t)=c_1{\mathbf{y}}_1+c_2{\mathbf{y}}_2$。代入 $\mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$ 得 $c_1\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$，即 $c_1=1.5$、$c_2=3$：

$$\left[\begin{array}{c}{i}_L(t)\\ v_C(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1.5\sin 5t+3\cos 5t\\ 3\cos 5t+6\sin 5t\end{array}\right]e^{-2t}$$

原点是螺旋点：正弦/余弦带来旋转，$e^{-2t}$ 使轨道向内盘旋（$-2$ 是特征值的实部）。实部为正则向外盘旋，实部为零则绕椭圆。

图 5-28：原点作为螺旋点

5.7 练习题（Practice Problems）

实 $3\times 3$ 矩阵 $A$ 的特征值为 $-0.5$、$0.2+0.3i$、$0.2-0.3i$，对应特征向量

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1+2i\\ 4i\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1-2i\\ -4i\\ 2\end{array}\right]$$

1. 用复矩阵意义下的 $A=PD{P}^{-1}$ 判断 $A$ 是否可对角化。 2. 写出 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ 的复特征函数通解，再求一般实解。 3. 描述典型轨道的形状。

练习题解答

1. 可以。三个特征值互异，特征向量线性无关（定理 2 对复标量同样成立），所以 $A$ 可对角化。

2. 复通解：

$$\mathbf{x}(t)=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]e^{-0.5t}+c_2\left[\begin{array}{c}1+2i\\ 4i\\ 2\end{array}\right]e^{(0.2+0.3i)t}+c_3\left[\begin{array}{c}1-2i\\ -4i\\ 2\end{array}\right]e^{(0.2-0.3i)t}$$

取第二项 $e^{0.2t}(\cos 0.3t+i\sin 0.3t)$ 的实部与虚部，得实通解（$c_1,c_2,c_3$ 为实数）：

$$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]e^{-0.5t}+c_2\left[\begin{array}{c}\cos 0.3t-2\sin 0.3t\\ -4\sin 0.3t\\ 2\cos 0.3t\end{array}\right]e^{0.2t}+c_3\left[\begin{array}{c}\sin 0.3t+2\cos 0.3t\\ 4\cos 0.3t\\ 2\sin 0.3t\end{array}\right]e^{0.2t}$$

3. $c_2=c_3=0$ 的解被负指数吸向原点；其他解含增长因子 $e^{0.2t}$（实部 $0.2>0$），轨道向外螺旋。

Warning

别把 5.6 与 5.7 的判据搞混：离散系统看 $|\lambda |$ 与 1 比（$|\lambda {|}^k\to 0$ 需 $|\lambda |<1$）；连续系统看 $\lambda$ 的实部正负（$e^{\lambda t}\to 0$ 需 $\mathrm{Re}\lambda <0$）。

图 5-29：原书习题 22 的电路图——同一套”特征对 → 解”的流程可用来求 RLC 电路中 $i_L$、$v_C$ 随时间的变化

关于习题

原书 5.7 节习题 22 以上图电路为背景：方程 $\left[\begin{array}{c}{i}_L^{\prime }\\ v_C^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1/L\\ -1/C& -1/(RC)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ v_C\end{array}\right]$，给定 $R=0.5\Omega$、$C=2.5$ F、$L=0.5$ H 与初始条件后，按本节方法求特征对、构造通解再定系数即可。其余习题列表见原书。

通关标准

• 会解初值问题：通解 = 特征函数线性组合，再用 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$ 定系数；
• 会给原点分类：全负特征值 → 汇（吸引子），全正 → 源（排斥子），正负混合 → 鞍点，复特征值 → 螺旋（实部定进出、虚部定旋转）；
• 会把复解拆成实部/虚部两个实解。

5.8 特征值的迭代估计

科学计算中特征值很少能精确已知，但通常只需一个足够好的近似——尤其经常只需要最大特征值的近似。本节介绍两个经典迭代算法：幂法与反幂法。

幂法（Power Method）

幂法适用于有严格占优特征值 ${\lambda }_1$ 的矩阵，即 $|{\lambda }_1|$ 严格大于其余所有特征值的模：

$$|{\lambda }_1|>|{\lambda }_2|\ge |{\lambda }_3|\ge \cdots \ge |{\lambda }_n|$$

设 $A$ 可对角化，$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$（$c_1\ne 0$）。由 5.6 节公式 (2)：

$$A^k\mathbf{x}=c_1({\lambda }_1{)}^k{\mathbf{v}}_1+c_2({\lambda }_2{)}^k{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n({\lambda }_n{)}^k{\mathbf{v}}_n$$

除以 $({\lambda }_1{)}^k$：

$$\frac{1}{({\lambda }_1{)}^k}{A}^k\mathbf{x}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^k{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\left(\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_1}\right)}^k{\mathbf{v}}_n$$

因为 $|{\lambda }_j/{\lambda }_1|<1$，各项比值的幂趋于零，所以 $({\lambda }_1{)}^{-k}{A}^k\mathbf{x}\to c_1{\mathbf{v}}_1$。也就是说，$A^k\mathbf{x}$ 的方向越来越对齐特征向量 ${\mathbf{v}}_1$（或 $-{\mathbf{v}}_1$）。

例 1 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1.8& 0.8\\ 0.2& 1.2\end{array}\right]$，${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]$。$A$ 的特征值为 2 和 1，${\lambda }_1=2$ 的特征空间是过 0 与 ${\mathbf{v}}_1$ 的直线。计算 $A^k\mathbf{x}$（$k=0,\dots ,8$），观察方向的变化。

解：前三次计算：

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-0.1\\ 1.1\end{array}\right],A^2\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}0.7\\ 1.3\end{array}\right],A^3\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2.3\\ 1.7\end{array}\right]$$

完整的迭代序列如下表：

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$A^k\mathbf{x}$	$\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}-0.1\\ 1.1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.7\\ 1.3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}2.3\\ 1.7\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.5\\ 2.5\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}11.9\\ 4.1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}24.7\\ 7.3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}50.3\\ 13.7\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}101.5\\ 26.5\end{array}\right]$

向量越来越长画不下，但把它们确定的方向（过原点的直线）画出来：这些直线越来越贴近 ${\mathbf{v}}_1$ 张成的特征空间，夹角趋于零。

图 5-30：$\mathbf{x},A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},\dots$ 确定的方向逐步逼近特征方向

实际操作中不知道 ${\lambda }_1$，没法按 $({\lambda }_1{)}^{-k}$ 缩放。替代方案：每次把 $A^k\mathbf{x}$ 缩放到最大分量为 1。可以证明这样得到的序列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于最大分量为 1 的那个 ${\mathbf{v}}_1$ 的倍数；且当 ${\mathbf{x}}_k$ 接近特征向量时，$A{\mathbf{x}}_k$ 的最大分量近似为 ${\lambda }_1$。

图 5-31：按最大分量缩放后的迭代向量序列，方向趋于一致

幂法算法（估计严格占优特征值）：

1. 选初始向量 ${\mathbf{x}}_0$，其最大分量为 1；
2. 对 $k=0,1,\dots$：(a) 计算 $A{\mathbf{x}}_k$；(b) 取 $A{\mathbf{x}}_k$ 中绝对值最大的分量记为 ${\mu }_k$；(c) 令 ${\mathbf{x}}_{k+1}=(1/{\mu }_k)A{\mathbf{x}}_k$；
3. 对几乎所有初始向量，$\{{\mu }_k\}$ 趋于占优特征值，$\{{\mathbf{x}}_k\}$ 趋于相应特征向量。

例 2 用幂法处理 $A=\left[\begin{array}{cc}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right]$，${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，算到 $k=5$，估计占优特征值与特征向量。

解：

$$A{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right],{\mu }_0=5;{\mathbf{x}}_1=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0.4\end{array}\right]$$ $$A{\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}8\\ 1.8\end{array}\right],{\mu }_1=8;{\mathbf{x}}_2=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{c}8\\ 1.8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0.225\end{array}\right],A{\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{c}7.125\\ 1.450\end{array}\right],{\mu }_2=7.125$$

继续迭代，结果汇总：

$k$	0	1	2	3	4	5
${\mathbf{x}}_k$	$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.4\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.225\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2035\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2005\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.20007\end{array}\right]$
$A{\mathbf{x}}_k$	$\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}8\\ 1.8\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.125\\ 1.45\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.0175\\ 1.407\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.0025\\ 1.401\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.00036\\ 1.40014\end{array}\right]$
${\mu }_k$	5	8	7.125	7.0175	7.0025	7.00036

$\{{\mathbf{x}}_k\}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]$，$\{{\mu }_k\}\to 7$。验证：$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 1.4\end{array}\right]=7\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]$ ✓。占优特征值为 7，特征向量为 $(1,0.2)$ 的倍数。■

收敛快慢取决于比值 $|{\lambda }_2/{\lambda }_1|$：例 2 中第二特征值 ${\lambda }_2=1$ 远小于 7，收敛极快；若 $|{\lambda }_2/{\lambda }_1|$ 接近 1，收敛会很慢。另外，初始向量凑巧不含 ${\mathbf{v}}_1$ 分量（$c_1=0$）的概率极小——舍入误差通常会”制造”出一点 ${\mathbf{v}}_1$ 分量，序列随后照常收敛。

反幂法（Inverse Power Method）

幂法只能找最大特征值。反幂法能逼近任意特征值 $\lambda$，前提是有一个较好的初始估计 $\alpha$。令 $B=(A-\alpha I{)}^{-1}$，对 $B$ 使用幂法。$B$ 的特征值恰为

$$\frac{1}{{\lambda }_1-\alpha },\frac{1}{{\lambda }_2-\alpha },\dots ,\frac{1}{{\lambda }_n-\alpha }$$

特征向量与 $A$ 相同。若 $\alpha$ 最接近 ${\lambda }_2$，则 $1/({\lambda }_2-\alpha )$ 是 $B$ 的严格占优特征值，且 $\alpha$ 越接近 ${\lambda }_2$ 占优越悬殊、幂法收敛越快。

反幂法算法（估计 $A$ 的特征值 $\lambda$）：

1. 取足够接近 $\lambda$ 的估计 $\alpha$；
2. 取最大分量为 1 的初始向量 ${\mathbf{x}}_0$；
3. 对 $k=0,1,\dots$：(a) 解 $(A-\alpha I){\mathbf{y}}_k={\mathbf{x}}_k$ 得 ${\mathbf{y}}_k$；(b) 取 ${\mathbf{y}}_k$ 中绝对值最大的分量 ${\mu }_k$；(c) 令 ${\nu }_k=\alpha +1/{\mu }_k$；(d) 令 ${\mathbf{x}}_{k+1}=(1/{\mu }_k){\mathbf{y}}_k$；
4. 对几乎所有初始向量，$\{{\nu }_k\}$ 趋于 $\lambda$，$\{{\mathbf{x}}_k\}$ 趋于相应特征向量。

注意算法中从不显式求逆 $(A-\alpha I{)}^{-1}$：每步改为解方程组（可预先做 $LU$ 分解加速）。

例 3 已知矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccc}10& -8& -4\\ -8& 13& 4\\ -4& 5& 4\end{array}\right]$$

的特征值粗略估计为 21、3.3、1.9，求最小特征值（精确到六位小数）。

解：两个较小的特征值靠得近，对 $A-1.9I$ 使用反幂法。任取 ${\mathbf{x}}_0$（最大分量 1），每步解 $(A-1.9I){\mathbf{y}}_k={\mathbf{x}}_k$，取 ${\mu }_k$ 为 ${\mathbf{y}}_k$ 的最大分量，${\nu }_k=1.9+1/{\mu }_k$：

$k$	0	1	2	3	4
${\mathbf{x}}_k$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5736\\ 0.0646\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5054\\ 0.0045\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5004\\ 0.0003\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.50003\\ 0.00002\\ 1\end{array}\right]$
${\mu }_k$	7.76	9.9197	9.9949	9.9996	9.999975
${\nu }_k$	2.03	2.0008	2.00005	2.000004	2.0000002

序列迅速收敛，最小特征值恰为 2。■

若没有最小特征值的估计，可取 $\alpha =0$；只要最小特征值离 0 比离其他特征值近得多，效果也不错。这两个算法适合简单场合；更稳健、更通用的是 QR 算法——MATLAB 的 eig(A) 命令的核心。

5.8 练习题（Practice Problem）

怎么判断向量 $\mathbf{x}$ 是不是矩阵 $A$ 的特征向量的好近似？若是，如何估计相应特征值？用

$$A=\left[\begin{array}{ccc}5& 8& 4\\ 8& 3& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1.0\\ -4.3\\ 8.1\end{array}\right]$$

实验。

练习题解答

计算：

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3.00\\ -13.00\\ 24.50\end{array}\right]$$

若 $A\mathbf{x}$ 近似为 $\mathbf{x}$ 的倍数，则对应分量之比应近乎相等：

$A\mathbf{x}$ 的分量	$÷$ $\mathbf{x}$ 的分量	$=$ 比值
3.00	1.00	3.000
$-13.00$	$-4.30$	3.023
24.50	8.10	3.025

三个比值都接近 3，所以 $\mathbf{x}$ 是相当不错的特征向量近似；任一比值都是特征值的估计（五位数精确值约 3.02409）。这个思路的严格版本就是瑞利商 $R(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}}$——若 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 则 $R(\mathbf{x})=\lambda$；$A$ 对称时 $R({\mathbf{x}}_k)$ 的精度大约是幂法缩放因子 ${\mu }_k$ 的两倍。

通关标准

• 会执行幂法并说出原理：$A^k\mathbf{x}$ 的方向被占优特征项 $c_1{\lambda }_1^k{\mathbf{v}}_1$ 主导；
• 会执行反幂法并说出原理：$(A-\alpha I{)}^{-1}$ 把离 $\alpha$ 最近的特征值放大成占优特征值；
• 记住收敛速度由 $|{\lambda }_2/{\lambda }_1|$ 决定；会用分量比（或瑞利商）检验近似特征向量并估计特征值。

自测一下

1. 为什么行化简不能用来求矩阵的特征值？正确的求法是什么？

行变换把 $A$ 变成行等价的阶梯形，而相似（乃至行等价）变换一般会改变矩阵的特征值——阶梯形的对角元通常不是 $A$ 的特征值。正确做法是解特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$ 得到特征值，然后对每个 $\lambda$ 用行化简求解 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 得到特征空间（行化简在这一步是合法且必要的）。

2. 矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$ 可对角化吗？若可以，写出 $P$ 和 $D$。

可以。特征方程 $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-3\lambda -28=(\lambda -7)(\lambda +4)=0$，特征值 7 和 $-4$ 互异，由定理 6 必可对角化。从 5.1 节的例子可得 $\lambda =7$ 的特征向量 $(1,1)$，$\lambda =-4$ 的特征向量 $(6,-5)$。取 $P=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 1& -5\end{array}\right]$，$D=\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -4\end{array}\right]$（$D$ 的对角元与 $P$ 的列一一对应），即 $A=PD{P}^{-1}$。

3. 一个 $3\times 3$ 矩阵特征值为 2（重数 2）和 5（重数 1），什么条件下它一定不可对角化？

看 $\lambda =2$ 的特征空间维数：若它只有一维（小于代数重数 2），则全部特征空间维数之和 $1+1=2<3$，凑不出 3 个线性无关特征向量，一定不可对角化（如 5.3 节例 4 那样）。反之若 $\lambda =2$ 的特征空间是二维的，则 $2+1=3$，由定理 7(b) 可对角化。互异特征值个数少于 $n$ 时，可对角化与否完全取决于”几何重数是否跟上代数重数”。

4. 离散动力系统 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 中，什么条件下原点是吸引子？若是连续系统 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ 呢？

离散情形：$A$ 的所有特征值的模都小于 1（复特征值也看模），则 $|{\lambda }_i{|}^k\to 0$，一切轨道收敛到原点，原点是吸引子。连续情形：判据改为所有特征值的实部为负，则 $e^{\lambda t}\to 0$，轨道收敛到原点（复特征值时轨道呈向内螺旋）。两者判据不同：一个是”模与 1 比”，一个是”实部与 0 比”。

5. 已知 $\alpha =1.9$ 是某矩阵最小特征值的近似估计，如何用反幂法把它精确化？为什么这一步相当于对某个矩阵做幂法？

每步解 $(A-\alpha I){\mathbf{y}}_k={\mathbf{x}}_k$（不必显式求逆），取 ${\mathbf{y}}_k$ 中绝对值最大的分量 ${\mu }_k$，令 ${\nu }_k=\alpha +1/{\mu }_k$ 作为新的特征值估计、${\mathbf{x}}_{k+1}=(1/{\mu }_k){\mathbf{y}}_k$ 作为新的特征向量估计，迭代到收敛。原理：$B=(A-\alpha I{)}^{-1}$ 的特征值是 $1/({\lambda }_i-\alpha )$，当 $\alpha$ 最接近最小特征值时，$1/({\lambda }_{\min }-\alpha )$ 是 $B$ 的严格占优特征值，所以对 $B$ 做幂法（就是解方程组的反幂法）会快速收敛到它；$\alpha$ 越准，$1/(\lambda -\alpha )$ 越悬殊，收敛越快。