第22章 正反馈、振荡器与稳定性

Note

第 14 章讲负反馈时我们说它让放大器更”乖”，这一章反过来看正反馈（positive feedback）：它是有意制造振荡器（oscillator）的核心手段，但也会在高频下”偷偷”出现在负反馈电路里，引发不稳定甚至自激振荡。理解振荡条件（Barkhausen 判据）与稳定性裕量，是设计任何反馈放大器的必修课。

22.1 振荡的条件

回顾第 14 章的反馈系统闭环增益：

$$G=\frac{A}{(1+AB)}$$

其中 $A$ 是前向增益，$B$ 是反馈网络增益。当环路增益 $AB$ 为负且 $|AB|\le 1$ 时，闭环增益大于前向增益，这就是正反馈。特别地，当 $AB=-1$ 时闭环增益理论上无穷大——此时即使没有任何输入，系统也会自行产生输出，这正是振荡器的原理。

$AB=-1$ 就是振荡条件。用相位语言重新表述：若 $A$、$B$ 中有一个（且仅一个）是”反相”的，就等价于环路增益的模为 1、相位为 180°。这就是巴克豪森判据（Barkhausen criterion）：

• 环路增益 $AB$ 的幅度必须等于 1；
• 环路增益 $AB$ 的相位必须为 180°（或 180° 加 360° 的整数倍——正弦波转过完整周期不变，所以加上任意整周期效果相同）。

直观理解：把一小段正弦波送进环路走一圈，出来时幅度不变、相位正好颠倒（180°），反相后恰与原信号同相叠加——于是每绕一圈都”火上浇油”，幅度持续增长直至电路非线性限幅。若增益小于 1，绕一圈衰减一点，振荡最终熄灭；若相位不是 180°（或 360° 整倍），叠加无法同相，同样不能维持。因此整个振荡器设计可拆成两步：用 Barkhausen 判据定”能否振荡”，用选频网络定”以什么频率振荡”。

要做一个有用的振荡器，还必须在反馈通路中加入频率选择网络，使振荡条件只在某一特定频率满足，电路便持续以该频率振荡。

22.2 振荡器电路

满足”幅度 1、相位 180°“有两条对偶路线，理解了它们，后面的具体电路就都是套模板：

• 路线一：反相放大器 + 180° 选频网络。选频网络在某频率上移相 180°（顺便衰减），放大器反相（−180°），环路总相移 360°≡0°，增益乘积凑到 1——相移振荡器走这条路；
• 路线二：同相放大器 + 0° 选频网络。选频网络在谐振点不移相，放大器本身同相，同样闭环成立——文氏桥与晶体振荡器走这条路。

两条路线互为镜像：选频网络多移的相，由放大器补回；选频网络衰减的增益，由放大器放大回来。判断任何振荡电路，都先问两个问题：反馈网络在哪个频率上”干净”（相移恰为 0° 或 180°）？该频率处环路增益是否恰好为 1？

22.2.1 RC（相移）振荡器

在单一频率上产生 180° 相移的简单办法是用 RC 梯形网络（RC ladder network）。单个 RC 高通/低通节最多移相 90°，且 90° 只在频率趋于无穷时达到，因此至少三级级联才能在有限频率上凑出 180°。

对三个相同的 RC 节做电路分析，输出/输入电压之比为：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1-\frac{5}{(\omega CR{)}^2}-\mathrm{j}\left(\frac{6}{\omega CR}-\frac{1}{(\omega CR{)}^3}\right)}\text{\hspace{1em}(22.1)}$$

相位为 180° 意味着增益为负实数、虚部为零，即 $\frac{6}{\omega CR}=\frac{1}{(\omega CR{)}^3}$，解得：

$$\omega =\frac{1}{CR\sqrt{6}},f=\frac{1}{2\pi CR\sqrt{6}}$$

代回式 22.1 得该频率处的增益为 $-\frac{1}{29}$。把此网络用作反馈通路，则 $B=-1/29$；要 $AB=-1$，前向增益必须为 $+29$。这就是相移振荡器（phase-shift oscillator）：反相放大器 + 180° 反馈网络。

22.2.2 文氏桥振荡器（Wien-bridge oscillator）

换个组合：同相放大器 + 0° 反馈网络，同样满足判据。文氏桥用 RC 串/并联组合作选频网络：$Z_1=R_1+1/(\mathrm{j}\omega C_1)$（串），$Z_2=\frac{1}{1/R_2+\mathrm{j}\omega C_2}$（并），输出 $v_o/v_i=Z_2/(Z_1+Z_2)$——本质上是一个分压器：信号先经过串联臂 $Z_1$ 再经并联臂 $Z_2$ 到地，从 $Z_2$ 上取输出。取 $R_1=R_2=R$、$C_1=C_2=C$，可推出：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{3-\mathrm{j}\left(\frac{1-{\omega }^2{R}^2{C}^2}{\omega CR}\right)}\text{\hspace{1em}(22.2)}$$

相位为零要求虚部为零，即 $\omega =1/(RC)$，此时增益为 1/3，且恰是该网络的最大增益点（谐振频率）。因此配一个增益为 3 的同相放大器，环路增益幅度即为 1。振荡频率：

$$f=\frac{1}{2\pi CR}\text{\hspace{1em}(22.3)}$$

Success

两个数字要背下来：相移振荡器选频网络在 180° 处衰减 1/29，需要增益 +29 的放大器；文氏桥网络在谐振点衰减 1/3，需要增益为 3 的同相放大器。判据记法：“幅度为 1，相位 180°（或 0°+同相放大）”。

数值演练：设相移振荡器每级 $R=1\text{k}\Omega$、$C=1\text{μF}$，则

$$f=\frac{1}{2\pi \times 10^3\times 10^{-6}\times \sqrt{6}}\approx 65\text{Hz}$$

即三节 $RC$（时间常数 1 ms）网络在约 65 Hz 处移相 180°、衰减 1/29，配一个增益 29 的反相放大器即可起振。也可用仿真验证：搭出图 22.2 的梯形网络，扫频 10 Hz–10 kHz，测量相移为 180° 处的频率与增益，结果应与公式一致。

再看文氏桥一例：取 $R=100\text{k}\Omega$、$C=10\text{nF}$，则 $f=\frac{1}{2\pi \times 10^5\times 10^{-8}}\approx 159\text{Hz}$。仿真文氏桥网络测其增益与相位响应，会在 159 Hz 处看到增益峰值 1/3、相位过零——这正是谐振点的两个标志。

22.2.3 振幅稳定（Amplitude stabilisation）

上面两种电路的环路增益由元件值决定，存在两难：增益设低了振荡会衰减消亡；设高了振荡幅度会一直增长直到被电路极限削平（削波失真）。

为什么不能”恰好”设在 1？ 理想上环路增益恰为 1 就能维持等幅振荡，但元件有容差、温度会漂移、运放增益会随批次与老化变化。若实际增益稍低于 1，振荡会指数衰减到消失；所以工程上把增益有意设得略大于 1（保证起振且有余量），再利用某种非线性或自动增益机制把稳态幅度钳住。这两种考虑——“起振要 >1，稳态要 =1”——是正弦振荡器设计的核心矛盾，也正是”振幅稳定”章节存在的意义。

• 最简单：靠运放输出摆幅的非线性——幅度接近电源轨时增益自然下降，稳定在某幅度，但运放工作在非线性区，输出有失真；
• 更优雅：把图 22.5(c) 中的 $R_1$ 换成热敏电阻（thermistor）。元件值选成室温下增益略大于所需值，振荡幅度增大→热敏电阻上耗散功率增大→温度升高→阻值下降→增益回落，幅度最终稳定在环路增益恰为 1 的点上——限幅而不失真。

热敏电阻方案的妙处在于它用热惯性充当了”慢速自动增益控制”：振荡的一个周期远短于热敏电阻的温度响应时间，因此在一个周期内增益几乎恒定、波形保持正弦；而跨多个周期的平均幅度增大时增益才被缓慢拉低。此外还有限幅二极管、场效应管压控增益等更精巧的稳幅电路，思想都相同——用一个与幅度相关的负反馈把稳态增益”伺服”到 1，细节超出本书范围。

22.2.4 数字（弛豫）振荡器

正反馈同样广泛用于数字电路。图 22.6 的弛豫振荡器（relaxation oscillator）是一个比较器式结构：上电时假设同相端略高于反相端，运放输出被推到正电源轨 $V_{pos}$；两个等值电阻 $R_1$ 构成的分压器把 $V_{pos}/2$ 送回同相端，锁定输出为正。输出经 $RC$ 给电容充电，反相端电压指数上升；一旦超过 $V_{pos}/2$，输出翻转至 $V_{neg}$，同相端阈值变为 $V_{neg}/2$，电容反过来朝 $V_{neg}$ 充电……如此往复，输出在两个电源轨之间持续振荡。振荡频率由充电速率即时间常数 $CR$ 决定。

实际输出不是完美方波——运放的压摆率（slew rate）限制了输出翻转速度。

数量级估算：取 $R=1\text{k}\Omega$、$C=10\text{μF}$、$R_1=10\text{k}\Omega$。时间常数 $CR=10\text{ms}$。电容从 0 充到约电源一半（阈值 $V_{pos}/2$）所需时间是 $CR\ln 2\approx 0.7CR\approx 7\text{ms}$，来回一个周期约 $14\text{ms}$，对应振荡频率约 70 Hz 量级。精确频率还要计入运放饱和压降与阈值细节，但”先估数量级、再仿真确认”是这个电路的标准工作流：用合适的运放搭出电路，同时观察输出端和电容上的电压波形，验证电容在两个阈值间来回充放电、输出在两轨间翻转。

22.2.5 晶体振荡器（Crystal oscillator）

振荡器的频率稳定性主要取决于选频网络的选择性，用品质因数 $Q$（谐振频率与带宽之比）描述：RC 网络 $Q$ 低；LC 网络可达几百；而**晶体（crystal）**的 $Q$ 可高达 100,000，适合计时等苛刻应用。

某些材料具有压电效应（piezoelectric effect）：形变产生电信号，加电场又引起形变。给晶体施加交变电压，它就会按自身尺寸形状决定的机械谐振频率振动，产生一个 $Q$ 极高的电谐振。谐振频率从几 kHz 到几十 MHz 可选。晶体通常用石英或陶瓷制成，等效于一个串联 RLC 谐振电路并联小电容 $C_P$；它有一对谐振频率——串联谐振（阻抗趋近零）与并联谐振（阻抗趋近无穷），两者频率差极小，通常可忽略。其余频段上器件表现为电容。

从等效电路还可以读出两个谐振点的用法差异：串联谐振时晶体的动态支路阻抗最小、近似短路，常被串在反馈环路里做”窄带通路”；并联谐振时整个器件阻抗趋于无穷，常被当作”高 Q 电感”配合外围电容使用。设计者不必深究内部参数——数据手册会给出等效电路元件值与并联电容 $C_P$ 的典型范围。实际振荡频率落在两个谐振点之间很窄的区域里，具体由外围负载电容微调。

晶体振荡器是电子表计时的基础、大多数计算机时钟的来源。图 22.8 是一种 Pierce 振荡器：一个逻辑反相器充当高增益反相放大器，晶体在谐振频率上提供正反馈通路；第二个反相器把输出”整成方波”并作缓冲，提高带负载能力。

把本章四种振荡器放到一张表里对比，方便选用：

电路	选频元件	反馈网络相移	所需放大器	频率稳定度	典型用途
相移振荡器	三级 RC	180°	反相、A=29	低	低频简易正弦源
文氏桥振荡器	RC 串并联	0°	同相、A=3	低	音频信号发生器
弛豫振荡器	RC 定时 + 阈值比较	—（开环翻转）	比较器/运放	低	方波/时钟、闪烁器
晶体振荡器	石英晶体	0° 或 180°（视结构）	反相器即可	极高（Q≈10⁵）	钟表、计算机时钟

选用逻辑很直观：只要”有个振荡”就选弛豫（最便宜）；要好波形选文氏桥；要好稳定度必上晶体。

频率稳定度到底要多高？ 以电子表为例：一个月（约 $2.6\times 10^6$ 秒）误差不超过 1 秒，要求频率精度达到

$$\frac{1}{2.6\times 10^6}\approx 4\times 10^{-7}$$

即百万分之零点四——RC、LC 网络根本达不到（温漂、元件容差就远超此数），唯有晶体可以。这就是数字手表、计算机主板时钟清一色采用晶振的原因：常见手表晶振频率选 32,768 Hz（$=2^{15}$），后续用 15 级二分频恰好得到 1 Hz 的秒脉冲（分频器见第 24 章）。动手验证可用仿真：用一只逻辑反相器配合晶振等效电路搭 Pierce 结构，观察其能否在晶振频率起振并稳定输出；改换 RC 振荡器对照，能直观体会稳定度差距。

Warning

晶体有串联和并联两个谐振频率（相差极小），不同振荡电路用其中不同的一个——更换电路形式时别搞错。另外振荡频率公式 $f=1/(2\pi CR\sqrt{6})$（相移型）和 $f=1/(2\pi CR)$（文氏桥）分母差个 $\sqrt{6}$，考试最易混。

22.3 稳定性（Stability）

不希望发生的振荡

前面是”有意制造振荡”，但振荡也可能不请自来。此前我们把 $A$、$B$ 当作实数处理，但第 8 章告诉我们：放大器增益有幅度也有相位，且高频段增益下降伴随着相位滞后——几乎所有放大器的相移在高频都会超过 180°。相位转过 180° 等效于增益变号，于是原本设计为负反馈的电路在高频可能变成正反馈：不仅负反馈的好处（稳定增益、改善频响、改变输入输出阻抗）全部失效，还可能起振。

稳定性由 $(1+AB)$ 决定：

• $(1+AB)$ 为正且大于 1：负反馈，稳定；
• $AB$ 变负使 $(1+AB)<1$：正反馈，负反馈优点尽失；
• $(1+AB)=0$（即 $AB=-1$）：闭环增益无穷大，不稳定、振荡。

为什么会走到这一步？放大器的高频相移来自内部各增益级的 RC 极点：每个极点贡献最多 90° 滞后，三级放大器的相移就可能逼近甚至越过 270°。负反馈设计时按中频算好的 $1+AB$，到了高频完全可能是另一个符号。“增益随频率下降、相位随频率滞后”这两条铁律合在一起，就是负反馈电路自激的全部根源。

反过来读：即使相位已达 180°，只要此时环路增益幅度小于 1，电路仍然稳定。设计任务因此可以一句话概括——保证环路增益在相位到达 180° 之前跌破 1。

22.3.1 增益裕量与相位裕量

实际设计要留出余量：

• 相位裕量（phase margin）：环路增益降到 1（0 dB）时，相位距离 180° 还差多少度；
• 增益裕量（gain margin）：相位到达 180° 时，环路增益低于 0 dB 多少 dB。

两者都可在 Bode 图上读出（图 22.9）。这也解释了为什么 741 这类运放要内部加一个主导极点（见 15 章）：让增益在相移逼近 180° 之前就跌穿 0 dB，换来大的裕量与良好稳定性。

对照 Bode 图读数的顺序：先在增益曲线上找 0 dB（单位增益）对应的频率，再到相位曲线上读出该频率处的相位，180° 减去它就是相位裕量；再找相位曲线穿越 −180° 的频率，读出该处增益低于 0 dB 的 dB 数，就是增益裕量。实用经验值：相位裕量 45° 起步、60° 更稳妥；增益裕量至少 6–10 dB。裕量偏小的电路”振铃”明显、阶跃响应过冲大，再小就真的自激了。

22.3.2 奈奎斯特图（Nyquist diagram）

另一种稳定性分析工具是奈奎斯特图：把环路增益 $AB$ 的实部与虚部画在一张复平面上，随频率扫出一条轨迹。轨迹上点 P 到原点的距离代表 $|AB|$，夹角代表相位。相比 Bode 图把幅度和相位分画两张图，奈奎斯特图把两者合在一张图里，因此”增益跌到多少、相位转过多少”一目了然，特别适合判断稳定性。

以带一个低频截止和一个高频截止的放大器为例（图 22.10）：中频段相位为 0、增益为实数；频率下降时增益减小、相位趋 +90°，轨迹沿正虚轴趋于原点；频率升高时相位滞后趋 −90°，轨迹沿负虚轴趋于原点。这个理想化例子的轨迹是一个圆。

不同截止频率个数给出不同轨迹（图 22.11）：DC 耦合 + 一个高频截止，最大相移 −90°；两个高频截止，沿负实轴（最大相移 180°）；三个高频截止，沿正虚轴（270°）；两个低频 + 三个高频截止，低频 +180°、高频 −270°。

稳定性判读：$(1+AB)$ 的模在图上就是从点 $(-1,0)$ 到轨迹点 P 的连线长度。奈奎斯特稳定性判据（可通俗表述为）：

• 轨迹不进入以 $(-1,0)$ 为圆心的单位圆：负反馈，稳定；
• 轨迹进入单位圆：该区域内反馈变为正，负反馈优点丧失；
• 轨迹包围 $(-1,0)$ 点：放大器将振荡。

需要澄清的一点：轨迹”穿过 $(-1,0)$“只是判稳的临界情形（增益无穷），工程上真正关心的是轨迹与单位圆的距离——越贴近 $(-1,0)$，相位裕量与增益裕量越小。奈奎斯特判据的精髓在于：它把”频率响应”和”稳定性”这两件看似独立的事统一到一张图里，看到轨迹形状就能预判加反馈后会不会自激。

推论：上下截止各不超过一个的放大器永远稳定（轨迹始终在原点右侧）；两个截止的放大器可能进入正反馈区但不会包围 $(-1,0)$，仍稳定；三个及以上截止的放大器若轨迹包围 $(-1,0)$ 就会不稳定。

放大器类型	最大相移	轨迹趋于原点的方向	稳定性
DC 耦合 + 1 个高频截止	−90°	负虚轴	恒稳定
DC 耦合 + 2 个高频截止	−180°	负实轴	恒稳定（不包围 −1,0）
DC 耦合 + 3 个高频截止	−270°	正虚轴	可能不稳定
2 个低频 + 3 个高频截止	+180° / −270°	正/负虚轴	可能不稳定

Success

奈奎图三句诀：在圆外稳、进圆变正、绕点振荡。截止频率个数决定最大相移：每多一个截止多 90°，相移超过 180°（即两个以上截止）才可能不稳定。

22.3.3 无意的反馈

杂散电容、杂散电感会引入设计之外的反馈路径。若是正反馈，会像上面分析的那样引起不稳定。这类问题在高频应用中最严重——很小的杂散电容就能产生显著影响，只能靠精细布线与设计把寄生效应压到最低（与 21 章 EMC 的布局原则一脉相承）。具体手段包括：缩短高频引线、减小输入与输出之间的耦合面积、在电源引脚就近加去耦电容，以及必要时对高频点做屏蔽。这里再次印证本章的总体思想：负反馈的稳定性不是天生的，而是设计出来的——反馈越深、带宽越宽，越要回头检查相位裕量。

关键要点

• 正反馈用于模拟与数字电路，最主要用途是产生振荡。
• 振荡条件：$|AB|=1$ 且相位为 180°（或 180°+360° 整数倍）——Barkhausen 判据。
• 相移振荡器：反相放大器 + 180° RC 网络（增益 1/29，需 A=29）；文氏桥：同相放大器 + 0° 网络（增益 1/3，需 A=3）。
• 正弦振荡器的难点是把环路增益恰好维持在 1 而不产生失真（热敏电阻稳幅是经典解法）。
• 数字弛豫振荡器靠阈值翻转产生方波，频率由 RC 时间常数决定。
• 高稳定频率用晶体（Q 高达 10⁵），是钟表与计算机时钟的核心。
• 高频下负反馈电路可能”变节”为正反馈：设计须保证相位到 180° 前环路增益已跌破 1（留相位/增益裕量）。

Warning

“振荡幅度该设多大”是概念陷阱：起振需要 $|AB|$ 略大于 1，否则振荡起不来或衰减；稳态需要 $|AB|=1$，靠非线性或热敏电阻自动调节达成。两个阶段的条件不同，不能只写一个。

自测五题

1. 叙述 Barkhausen 振荡判据。 环路增益 $AB$ 的幅度为 1，且相位为 180° 或 180° 加 360° 的整数倍。等价表述：$AB=-1$，使闭环增益 $G=A/(1+AB)\to \infty$。

2. 相移振荡器为什么至少要三级 RC？若每级 R=1 kΩ、C=1 μF，振荡频率是多少？ 单级 RC 最大相移 90° 且只在无穷频率达到，两级凑不出有限频率下的 180°，至少三级。$f=\frac{1}{2\pi CR\sqrt{6}}=\frac{1}{2\pi \times 10^3\times 10^{-6}\times 2.449}\approx 65\text{Hz}$。

3. 文氏桥选频网络在谐振频率处的增益和相移是多少？配多大增益的放大器？ 相移 0°、增益 1/3（该点也是最大增益点）。需同相放大器增益为 3，使 $|AB|=1$。

4. 如何用热敏电阻稳定振荡幅度？ 选参数使室温下增益略大于起振所需值。幅度增大→热敏电阻耗散增大→升温→阻值下降→增益回落，幅度稳定在环路增益恰为 1 的点，从而限幅且不失真。

5. 为什么高频时负反馈放大器可能不稳定？设计上如何保证稳定？ 放大器高频增益下降伴随相位滞后，相移超过 180° 时等效增益变号，负反馈变成正反馈；若同时 $|AB|>1$，电路满足振荡条件而起振。对策：保证环路增益在相位到达 180° 之前跌破 1，即留足相位裕量与增益裕量（如运放内部加主导极点）。