📘 OE 文献 094102 · 激光在落雪中的衰减与粒径分布关联

这一篇在干嘛？

论文用一台 1.56 μm 的 TCSPC 三维成像激光雷达测量落雪中的透射信号，并用激光雨滴谱仪同步刻画雪的粒径分布（PSD）。理论侧把雪粒近似为球形，用 Mie 散射理论计算消光与散射截面，再对实测 PSD 积分得到整条路径的透射，分别对比了 Beer–Lambert 纯消光模型和计入前向散射的模型。结果显示，基于 PSD 的计算远优于仅凭降水率的幂律拟合，且前向散射模型因目标面积远大于接收孔径而与实验吻合更好。方法适用于激光雷达几何下的中等降水率落雪场景，唯一失效点出现在最高降水率 2.44 mm/h 处，作者归因于空间不均匀或多次散射。

1 引言

激光在大气中传播时，雨、雪这类”劣化视觉环境”会把光束吃掉一大截——这对激光雷达（lidar）和自由空间光通信（FSO）等系统的性能是实打实的威胁。想预测这些系统在降水中还能不能正常工作，就必须弄清楚光信号在降水里到底怎么衰减。此前已有不少工作：Grabner 和 Kvicera 用蒙特卡洛模拟为 FSO 链路建立了雨雾衰减的多重散射模型；Korai 等人把 FSO 衰减计算和全球降雨模型结合起来；Goodin 等人用解析的雨滴谱表达式预测降雨对激光雷达性能的削弱，并把它整合进自动驾驶车辆的 3D 仿真器；Roy 等人则讨论了落雪与 3D 激光扫描仪的相互作用，并根据模拟雪场中的雷达信号提出了抑制雪花散射噪声的滤波算法。

针对落雪对光的衰减，历史上也积累了一批实测研究。O’Brien 结合能见度观测和光度计测量了可见光的衰减；Miller 用 HeNe 激光和 CO₂ 激光穿过人工造雪场测透射，用数码相机拍下雪粒并假设粒子为球形来反演粒径分布（PSD），再用含衍射贡献的几何光学模型计算透射——他的结果显示透射存在光谱依赖性，并被归因于波长相关的衍射瓣。Mason 综述了文献中的实验衰减数据，发现一个很关键的问题：不同场次降雪之间，即使降水强度相同，消光系数也可能相差五倍之多，而且降雪的消光系数可以比降雨高出一个数量级以上。这种场次间的巨大差异来自两方面：气象条件不同导致的粒径分布差异，以及雾的叠加。Seagraves 和 Ebersole 在此基础上尝试用佛蒙特州的加密观测数据建立衰减与气象条件的经验关系；Hutt 等人则讨论了单次散射与多重散射情形下消光测量的光谱依赖性。

近年来，降水测量设备（尤其是能对水凝物尺寸和落速做原位测量的激光雨滴谱仪）的发展，让”降水特性”与”激光透射测量”的精细关联成为可能。Brazda 和 Fiser 研究了降雨对 850 nm FSO 链路的影响，Peckhaus 等人研究了雨雪对中心波长 1 μm 左右高功率激光光束的作用——这些都用到了 PSD 知识。

本文的工作正是顺着这条思路展开：用一台工作波长 1.56 μm 的 3D 成像激光雷达测落雪中的透射，雪场特性则由激光雨滴谱仪同步刻画。需要说明的是，这种成像式装置无法像单光路装置那样把单程透射直接分离出来，但它有一个好处：可以观测比单光路装置大得多的目标区域，而目标区域的大小本身就会通过前向散射辐射影响大气透射。实验数据与基于实测 PSD 的数值计算进行对比关联，论文结构为：第 2 节介绍实验装置与信号处理，第 3 节推导基于 PSD 的透射计算方法（仅消光、消光加前向散射两种），第 4 节给出结果与比较，第 5、6 节为讨论和总结。

2 实验装置与信号处理

2.1 TCSPC 三维成像系统

透射测量的核心是一台基于时间相关单光子计数（TCSPC）技术的 3D 成像系统 3D-FALKen v3.11，其 v3.0 版本在 Henriksson 等人的工作中已有详细介绍，v3.11 的主要区别是改由相机内部触发，并允许在变焦镜头前加装中性密度（ND）滤光片。系统由两大部分组成：一台 Princeton Lightwave Falcon 光子计数相机，以及一台脉冲式 1557 nm 激光源。

相机的核心是 128 × 32 的盖革模式雪崩光电二极管（GmAPD）阵列，像元间距 50 μm，可以记录每个像元探测到光子相对于触发脉冲的时刻。阵列前面是 Kowa Z20750AMP 变焦镜头，配有三样”调节旋钮”：中心 1558 nm、带宽 5 nm 的带通滤光片（压低背景光）、外置电动光圈（控制有效孔径）、以及数量可变的 ND 滤光片（控制进入探测器的总光量）。实验中使用 750 mm 焦距，配合 50 μm 像元间距，角分辨率达到 67 μrad。激光源为 BKtel HFL-310am-COL50，波长 1557 nm，脉宽 0.9 ns，单脉冲能量最高 14 μJ，重频可在 30 至 1000 kHz 之间调节。激光束的发散角与相机视场（FOV）相匹配。值得一提的是，激光初始为线偏振，光在雪粒和目标上散射后偏振态会改变，但系统不对探测信号做偏振过滤——这样一来，相对大气而言，测量到的透射变化只来自吸收和散射对辐射的空间重定向，处理上干净得多。

图 1：(a) 3D-FALKen v3.11 实物照片；(b) 分辨率测试靶照片；(c) 水平裁剪的 2D 全景图（3D 图像经最大强度距离滤波），摄于降水强度 0.07 mm/h 的降雪期间，红框标出透射测量所用的目标区域（1.1 × 1.1 m²）。

TCSPC 的基本原理一句话就能说清：系统记录从”发出触发信号”到”每个像元第一次吸收到光子”的时间间隔，时间分辨率 500 ps。连续发射多个脉冲后，就可以对”触发到光子吸收”的时间做直方图统计——直方图峰的位置给出物体距离，峰的高度反映反射强弱。图 2 就是一次测量中捕到的像元直方图实例。把成阵列的 GmAPD 组合起来，就能重建整个场景的 3D 图像。

图 2：降水强度 0.15 mm/h 时捕获的未经背景扣除的像元直方图示例，约 270 ns 处可见来自目标的反射峰。

2.2 目标与数据采集

透射测量的目标是 $1.2\times 1.2{\mathrm{m}}^2$ 的分辨率测试靶（图 1(b)），放置在距 3D-FALKen 708 m 处。每次测量中，系统以 80 kHz 帧率、1 deg/s 的转速对目标水平扫描四遍，之后把数据拼成全景像元并做饱和校正。2D 全景图（图 1(c)）的生成方式是：对每个像元的直方图取峰值。再从全景图中圈出一个 $24\times 24$ 全景像元的感兴趣区域（ROI，图 1(c) 红框），对应靶上 $1.1\times 1.1{\mathrm{m}}^2$——这个尺寸既尽量覆盖整个靶，又不把靶边缘的影响框进来。另外，相机阵列中部分像元行存在灵敏度不均匀的区域，这些行被直接剔除，以免污染测量信号。目标在全景图中的位置每次测量会略有漂移，因此 ROI 内的有效像元数在 $16\times 24$ 到 $19\times 24$ 之间浮动。按帧率、转速和扫描次数折算，ROI 的 3D 全景图中每个全景像元约包含 39,000 次测量。

信号处理的流程是：在每个像元直方图中，取从起始时刻到目标峰前 10 ns 的均值作为背景信号（对应约 260 ns 的背景积分时间，见图 2）。背景里混着探测器暗计数、目标反射的环境光，以及光束路径中气溶胶和雪粒散射的环境光与激光辐射。扣除背景后，取峰位 ±2.5 ns 范围（即直方图中 11 个时间仓）内的计数之和作为目标信号。对 ROI 内所有像元取平均，再对四遍扫描取平均，得到平均信号。注意，计算信号时用的是整个靶的反射，所以图 1(b) 中用于分辨率标定的黑色条纹会整体压低反射截面——但它对所有测量的影响是同样的，不影响相对比较。

2.3 从激光雷达到”标度信号”

把测量信号与降水衰减关联起来的出发点是激光雷达方程。在本文实验几何下，它可以写成

$$N_D=N_E\frac{\sigma }{A_{\mathrm{illum}}}\frac{A_{rec}}{\pi L^2}{\eta }_{sys}{\eta }_{atm}^2,\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $N_D$ 是探测到的光子数，$N_E$ 是发射光子数，$\sigma$ 是目标反射截面，$A_{\mathrm{illum}}$ 是被照亮面积，$A_{rec}$ 是探测器有效孔径面积，$L$ 是雷达到目标的距离，${\eta }_{sys}$ 是接收系统效率，${\eta }_{atm}$ 是单程大气透射效率（来回双程所以是平方）。雷达扫描产生全景图时，激光指向不同，光束有限宽度对靶面的照亮程度也不同——但在实验中成像范围在水平方向远超靶面，这种变化只相当于对 $N_E$ 的一个常数修正，在重复测量对比中可以忽略；垂直方向的光照变化带来的信号起伏相对其他涨落源也不显著，同样不纳入分析。至于大气，在该波长下气体吸收可以忽略，起作用的只是气溶胶和水凝物的散射与吸收。重复测量同一目标时，$\sigma$、$A_{\mathrm{illum}}$ 和 $L$ 都不变。

会变的是环境条件决定的两处：镜头前的 ND 滤光片数量影响 ${\eta }_{sys}$（而探测器量子效率、镜头损耗等其余部分不变），光圈直径影响 $A_{rec}$。为此把式 (1) 改写为一个”标度信号”

$$S_{\text{scaled}}=\frac{N_D}{N_E{A}_{rec}10^{-OD}}=C{\eta }_{atm}^2,\text{\hspace{1em}(2)}$$

即对激光脉冲能量、有效孔径面积和 ND 滤光片光密度（OD）的变化做了归一；$C$ 是一个常数，收纳了目标反射截面、照亮面积、雷达到靶距离以及测量期间保持不变的那部分系统效率。$S_{\text{scaled}}$ 与大气透射效率直接挂钩，是后续所有比较使用的量。

2.4 降水与气溶胶的同步观测

降水特性用一台 Thies 5.4110.01.200 激光雨滴谱仪刻画，安放在 3D-FALKen 附近。它的原理很直观：一束激光形成薄光平面，水凝物落下时遮挡光束，由衰减的强度和持续时间反演出水凝物的直径和落速，再结合温度判断降水类型。数据按 20 个速度档（0 到 >10 m/s）和 22 个直径档（0.125 到 >8 mm）分类，时间分辨率 1 min，仪器同时输出降水强度（mm/h）。要把尺寸/速度直方图用于透射计算，需先换算成 PSD：设 $M_{v,i}$ 为落在速度档 $v$、直径档 $i$ 中的水凝物个数，则每直径档的体积数密度 $N_i({\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1})$ 为

$$N_i=\frac{1}{A_i\Delta D_i\Delta t}\sum _v\frac{M_{v,i}}{V_v},\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $A_i$ 是直径档 $i$ 的有效采样面积（m²），$\Delta D_i$ 是该直径档宽度（mm），$\Delta t$ 是积分时间（s），$V_v$ 是速度档 $v$ 的速度（m/s）。关于这台仪器的可靠性，Fehlmann 等人最近用雨量计（降水强度基准）和 2DVD 视频雨滴谱仪（PSD 基准）做过评估：降雪时激光雨滴谱仪的 PSD 数密度相对 2DVD 略有低估；降水强度则未见系统性偏差，但因内置算法的底层假设，不确定度偏高。

文献中早就注意到降雪常伴随雾出现。为了补上雨滴谱仪分辨率下限以下的小粒子信息，实验还配备了一台 Alphasense OPC-N3 光学粒子计数器：它让采样气流中的单个粒子逐个穿过激光束，测其散射光。这台仪器不干燥粒子，正好适合雾滴或吸附了水的气溶胶的尺寸测量，结果分入 0.35 到 40 μm 的 24 个直径档，按秒记录；计算气溶胶 PSD 时取 10 min 滚动均值以保证采样的可靠性。还有一个 40 到 125 μm 的直径区间两个传感器都覆盖不到，但至少可以用粒子计数器判断有没有雾。此外，一台 Vaisala PWD22 前向散射能见度传感器同步测量 0 到 20 km 范围的能见度。

3 数值计算：降水引起的信号衰减

3.1 Beer–Lambert 定律：最朴素的透射模型

评估激光在大气中传播的透射效率，最常用的出发点是 Beer–Lambert 定律，其几何图像见图 3。假设大气是均匀的衰减介质，则

$$E(x)=E_0{e}^{-B_{ext}x},\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $E(x)$ 是脉冲传播到位置 $x$ 时的能量，$E_0$ 是初始能量，$B_{ext}$ 是消光系数——吸收系数与散射系数之和，本文用后文介绍的 Mie 理论计算。Beer–Lambert 定律的核心假设是”一刀切”：凡是与大气发生过吸收或散射的辐射，一律算作损失。于是大气透射效率（探测器处能量与源处能量之比）就是

$${\eta }_{atmBL}(L)=\frac{E(L)}{E_0}=e^{-B_{ext}L},\text{\hspace{1em}(5)}$$

下标 BL 强调这是按 Beer–Lambert 定律算的。

图 3：单程透射测量的几何示意。激光源向距离 $L$ 处的探测器发射辐射，${\theta }_d$ 表示从视线路径上位置 $x$ 看去探测器孔径所张的半角。

3.2 加入前向散射

但 Beer–Lambert 定律其实”冤枉”了一部分光：散射角很小的前向散射光并没有真正离开视线，有一部分仍会落在探测器孔径所张的立体角内、到达探测器。Miller 和 Hutt 等人的研究都表明，在透射表达式中把落入探测器立体角的前向散射计入，往往能显著改善计算与实验的吻合程度。若假定散射处于单次散射机制——即一个光子最多被散射一次，已经进入探测器立体角的光子不再参与后续散射事件——式 (5) 可以很容易地改造为

$${\eta }_{atmFS}(L)=e^{-B_{ext}L}+{\int }_{x=0}^L{e}^{-B_{ext}x}{\int }_{{\Omega }_d(x)}{\beta }_{sca}(\theta )\mathrm{d}\Omega \mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 ${\Omega }_d(x)$ 是位置 $x$ 处探测器孔径所张的立体角，${\beta }_{sca}$ 是角度相关的微分散射截面，下标 FS 表示计入前向散射。物理图像很清楚：第一项是”一路没被碰过”的辐射，第二项是沿途被小角散射”扶正”回探测器方向的辐射。在单次散射机制下，加入前向散射必然使透射增大。

3.3 用 Mie 理论算单个雪粒

雪粒显然不是球形的，但雨滴谱仪给出的尺寸就是”直径”这一个数。考虑到落雪粒子相对入射辐射的取向是随机的，作为一阶近似，可以把每个水凝物当作以其直径为特征的球体来处理——而一旦有了球形假设，就能搬出经典的 Mie 散射理论来计算散射和消光参数。计算使用 Schäfer 开发的免费代码包，冰的复折射率数据取自 Warren 的汇编。

3.4 从单粒子截面到整条路径的透射

有了单个粒子的截面，再对实测 PSD 积分（该波长下气体吸收可忽略），就得到整群粒子的消光系数和微分散射截面

$$B_{ext}={\int }_{r=0}^{\infty }{\sigma }_{ext}(r)n(r)\mathrm{d}r,\text{\hspace{1em}(7)}$$ $${\beta }_{sca}(\theta )={\int }_{r=0}^{\infty }{\sigma }_{sca}(\theta ,r)n(r)\mathrm{d}r,\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中 $r$ 是粒子半径，${\sigma }_{ext}(r)$ 是 Mie 代码算出的单粒子尺寸相关消光截面，$n(r)$ 是实测 PSD，${\sigma }_{sca}(\theta ,r)$ 是尺寸和角度相关的单粒子微分散射截面。由于球形假设赋予微分散射截面旋转对称性，式 (6) 可以写成

$${\eta }_{atmFS}(L)=e^{-B_{ext}L}+2\pi {\int }_{x=0}^L{e}^{-B_{ext}x}{\int }_{\theta =0}^{{\theta }_d(x)}\sin (\theta ){\beta }_{sca}(\theta )\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 ${\theta }_d(x)$ 是位置 $x$ 处探测器孔径所张的半角（见图 3）。这里假设了零发散激光束对准圆形孔径的中心——当然是对实际测量的近似：实际中发散激光束是扫过方形靶面来拼全景图的。对散射进入圆形探测器孔径的情形，积分是直接的；对进入方形靶面的情形，则把方形近似为几何截面相同的圆盘。几何差异带来的影响预计很小，因为路径上大部分位置的对应角度相差不大，只有 $x$ 非常接近 $L$ 时才明显。此外，靶面漫反射波的球面波性质以及探测器有限的视场接受角，也都忽略不计。

3.5 往返不再对称，以及常数 C 的确定

计入前向散射后，式 (1) 那种漂亮的对称性被打破了：出射路径和返程路径的透射效率不再相同。原因在于靶和孔径的尺寸差异——如果目标比探测器孔径大，那么偏轴散射的辐射在出射路径末端（打到靶上）比在返程路径末端（进入小孔径）更容易被接收，因此出射方向的透射更高。于是式 (2) 应改写为

$$S_{\text{scaled}}=C{\eta }_{atmFS\text{-}out}{\eta }_{atmFS\text{-}in},\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 ${\eta }_{atmFS\text{-}out}$ 和 ${\eta }_{atmFS\text{-}in}$ 分别是出射和返程的透射效率。

最后还差一个环节：要用式 (10) 与实验数据对比，必须先定出常数 $C$（它代表目标反射特性和系统效率中的不变部分，如镜头损耗和量子效率）。做法是取 $C=S_{\text{scaled}}/{\eta }_{atm}^2$ 对全部实验数据点的中位数（Beer–Lambert 情形），前向散射情形则用式 (10) 对应的表达式。这样，同一个实验数据集就能分别与两种理论模型对齐比较了。

4 结果

4.1 观测条件与数据概览

实验于 2020 年 3 月 3 日至 4 日在瑞典耶尔沃丹进行，气温在 $-4{}^{\circ }\mathrm{C}$ 到 $-1{}^{\circ }\mathrm{C}$ 之间，天气以强度不断变化的阵雪为主。整个实验期间，成像激光雷达共在 16 个不同时刻进行了透射率测量，记录到的降水率覆盖 0.00 到 2.44 mm/h，气温与降水率的时间序列（分钟分辨率）见图 4，红色标记即透射率测量时刻。

图 4：2020 年 3 月耶尔沃丹实验期间分钟分辨率的降水率与气温，红色标记为透射率测量时刻

能见度传感器与雨滴谱仪的同步测量结果见图 5。灰色点是两天实验的全部记录，红色点是有透射率测量的时刻。可以看到，相同降水率下能见度的变化相当大。为了排查气溶胶（例如雾）的影响，作者分别用雨滴谱仪和粒子计数器的数据计算了透射率，结果发现：在激光雷达测量的那些时刻，气溶胶浓度低到不足以显著影响透射效率。因此，测量到的透射率变化可以完全归因于降雪本身——这是后续一切”实验对照理论”分析的前提。

图 5：能见度与降水率的同步测量。灰色为全部数据点，红色为有透射率测量的时刻

4.2 两种模型算出的透射效率

图 6 给出了基于雨滴谱仪粒径分布（PSD）和 Mie 理论计算的透射效率，同时画出了两种模型：

• Beer–Lambert 方法（${\eta }_{atmBL}$）：凡是与雪花发生相互作用的光全部算作损失，只考虑消光。直觉上它给出的透射率最低，事实也如此。
• 前向散射方法（${\eta }_{atmFS}$）：在单次散射近似下，把落在目标或探测器立体角内的前向散射光”还给”信号。它又分出射（${\eta }_{atmFS\text{-}out}$）和入射（${\eta }_{atmFS\text{-}in}$）两段。

图 6：基于 Mie 理论和雨滴谱仪数据计算的透射效率随降水率的变化，${\eta }_{atmBL}$ 最低，${\eta }_{atmFS\text{-}out}$ 最高，非单调行为源于雪粒数密度与 PSD 的变化

为什么出射和入射的透射率差别明显？关键在于”接收孔径”的大小差别：目标（ROI）面积约为 $1.2{\mathrm{m}}^2$，而 3D-FALKen 光圈全开时面积仅约 $7\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$。目标张开的立体角大，前向散射光里有相当一部分仍会落在目标范围内被收回；返回探测器的路上立体角小，大部分前向散射光都被挡在外面。所以出射段更接近前向散射结果，入射段则几乎和 Beer–Lambert 一样。

两条进一步的规律值得注意：

1. 在降水率约 0.1 mm/h 以下，出射透射率也几乎与 Beer–Lambert 重合——散射体太稀疏，散射进立体角的光可以忽略；
2. 降水率超过约 0.1 mm/h 后，散射体数密度足够高，越来越多的前向散射光进入目标立体角，使透射效率明显高于纯消光结果。

另一个反直觉的现象是：透射效率并不随降水率单调下降。原因在于 PSD 和雪粒数密度在不同时刻是变化的（下文会给出具体案例）。

4.3 实验信号与计算结果的对照

接下来是全文最核心的对照：实测信号（经尺度化）分别与两种模型的计算信号比较，并叠加一条按典型幂律假设拟合的经验曲线，

$${\eta }_{atm}\propto I_{prec}^g,\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中 ${\eta }_{atm}$ 是大气透射效率，$I_{prec}$ 是降水率，$g$ 是拟合参数。各图中还给出决定系数 $R^2$：$R^2=100\%$ 表示实验与计算完全相关，$R^2=0\%$ 表示计算信号为常数且等于实验信号均值。

图 7：落雪中的实验信号与基于 Beer–Lambert 消光方法（${\eta }_{atmBL}$）的计算信号对比，以及按式 (2) 与式 (11) 的经验拟合

图 8：落雪中的实验信号与基于前向散射方法（${\eta }_{atmFS}$）的计算信号对比，以及按式 (2) 与式 (11) 的经验拟合

对照结果可以概括为三点：

1. PSD 方法完胜幂律拟合。 无论 Beer–Lambert 还是前向散射模型，对实测信号变化的捕捉都明显优于仅凭降水率的幂律拟合。信号随降水率的非单调变化，只有借助 PSD 的细节才能解释——降水率一个数字概括不了雪的”全貌”。
2. 前向散射模型优于纯消光模型。 比较 $R^2$ 可见，把单次前向散射光计入信号，与实验的一致性更好。原因正是 4.2 节讲的几何效应：目标面积大，前向散射光能贡献信号，出射透射效率因此高于 Beer–Lambert 预测。
3. 两种模型各有”失效点”。 前向散射方法只在最高降水率 2.44 mm/h 处低估了信号水平；而 Beer–Lambert 方法从 0.24 mm/h 起就已经开始低估。2.44 mm/h 处的失效原因无法下定论——降水率是单点测量，而透射是沿整条路径测的，两者空间尺度不匹配。作者在讨论部分给出了两个候选解释（空间不均匀与多次散射）。

4.4 PSD 变化如何左右信号：两个案例

案例一：同一降水率 0.04 mm/h，信号却大不相同。 有三个数据点降水率同为 0.04 mm/h，尺度化信号却分别为 5.8、2.7 和 1.7。透射计算重现了同样的行为，只是低估了变化幅度。对应的 PSD 见图 9。

图 9：雨滴谱仪测得的三个 PSD，信号值分别为 5.8、2.7、1.7，降水率均为 0.04 mm/h

解读起来很有意思：信号 2.7 和 1.7 的两组，直径 0.44 mm 及以下的粒子确实更少，但它们 0.6 mm 及以上的粒子更多，结果透射反而更低——大粒子对透射的影响超过小粒子，即使总粒子数密度更低。信号 1.7 与 2.7 的差别更直接：前者在几乎所有粒径段粒子都更多（唯独 2.75 mm 的最大粒径档除外），所以透射更低。更值得注意的是，尽管三组 PSD 差别明显，雨滴谱仪算出的降水率却相同。原因在于降水率换算依赖水凝物质量密度：信号 5.8 那组被分类为雪粒与液态毛毛雨的混合，另外两组则被分类为液态毛毛雨、雪粒与霰的不同配比——毛毛雨、雪粒、霰的密度各不相同，密度差异抵消了粒径分布的差异。

案例二：0.52、0.67、0.90 mm/h 三个相邻点中的”低谷”。 这三个相邻案例中，0.67 mm/h 处的信号和计算透射都明显低于两侧。对应 PSD 见图 10。罪魁祸首是 0.67 mm/h 这组在 0.63 到 3.3 mm 粒径区间内的数密度偏高：在这一区间里，粒子数密度与消光截面的组合压低了信号，尽管它的降水率”夹在”另外两组之间。

图 10：雨滴谱仪测得的三个 PSD，对应降水率分别为 0.52、0.67、0.90 mm/h

这两个案例合起来给出了本单元的核心信息：决定激光衰减的不是降水率本身，而是完整的粒径分布——粒径决定单粒子散射截面，数密度决定单位体积里有多少散射体，两者共同作用。

5 讨论

5.1 主要结论与失效点

结果部分的总结论是：以实测水凝物 PSD 为基础、按 Mie 散射行为计算透射，能与落雪中的实测信号水平很好吻合；而且只要知道目标与探测器的有效面积，把前向散射计入计算，就比只用 Beer–Lambert 消光方法更准确。唯一的失效点出现在最高降水率处，但由于降水率是单点测量、透射是长路径测量，无法确证原因。作者提出两个假说。

假说一：降雪的空间不均匀性。 从图 4 的时间变化可以看出，测量期间主要是阵雪飘过测点，因此各测量时刻沿路径的降雪很可能空间不均匀。尤其在较高降水率时，路径上的平均降水率很可能低于单点测量值，这会导致实际透射效率高于计算值——正好解释最高降水率处计算对信号的低估。

假说二：多次散射。 用消光系数 $B_{ext}$ 与路径长度 $L$ 的乘积定义衰减长度 AL（$B_{ext}L$），AL 等于 1 通常被视为多次散射开始显著起作用的门槛。图 11 显示，降水率在 0.24 mm/h 及以上时 AL 已大于 1。也就是说，在当前几何与散射粒子类型下，单次散射近似对几乎所有测量都成立，唯独最高降水率处多次散射可能开始产生影响。

图 11：各测量案例的衰减长度 AL 计算

5.2 为什么不能用幂律经验公式

依赖激光雨滴谱仪降水率的幂律经验公式，与实验数据的一致性远差于基于 PSD 的计算。落雪中透射率随降水率大幅变化的现象在早年文献中已有记载，通常归因于雪花生长与聚合方式的变化——它们改变雪的质量密度和 PSD，本文能见度与信号数据的相关性也支持这一判断。

但这里有个方法论的坑：Fehlmann 等人的工作表明，激光雨滴谱仪依赖对水凝物质量密度的估计来把原始数据换算成降水率，落雪情形下这一步带有固有不确定性。因此很难判断本文观察到的大幅透射变化，究竟来自降雪本身的固有变化、测量设备引入的变化，还是两者兼有。作者建议后续同时使用雨滴谱仪（测 PSD）和高精度降水率测量装置（例如称重式雨量计），才能厘清降水率在激光透射中的真实角色。

5.3 模型近似与几何的适用范围

球形近似的局限。 把雪花 PSD 当作球形粒子处理是相当粗糙的近似，但它已经比纯消光方法更接近实验数据；若能用更精确的散射相函数，实验与计算的一致性应该还会更好。

几何条件决定方法选择。 本实验中目标远大于探测器孔径，所以前向散射与消光两种方法差别显著。反过来，若在激光雷达几何中使用小目标，或在单程装置中使用小探测器，两种方法的差别就会缩小——在比本文更高的降水率下，Beer–Lambert 方法也足以与实验吻合。换句话说，前向散射修正的价值取决于”接收立体角有多大”。

对成像质量的影响。 本文把目标全图像内收集到的光子一并求和，没有单独讨论目标到探测器路径上的前向散射对成像对比度与分辨率的影响。落在别的 GmAPD 像素上的散射光子会导致图像退化；不过从图 6 中 ${\eta }_{atmBL}$ 与 ${\eta }_{atmFS\text{-}in}$ 相差很小可以看出，目标到传感器路径上被探测器收集的散射光子相对很少，图像退化应当有限。作为对比，在水等强散射环境（如添加散射剂的水下成像）中，已观测到显著的退化效应。而出射路径上（激光到目标）的散射不影响分辨率。

6 总结

这项工作用波长 1.56 μm 的 TCSPC 三维成像激光雷达，在激光雷达几何下测量了落雪中的透射；雪的 PSD 用激光雨滴谱仪做单点表征，再据此按 Mie 散射行为计算透射效率。要点如下：

• 两种计算方法：Beer–Lambert 方法把所有与水凝物相互作用的光都视为消光；另一种在单次散射近似内计入前向散射的贡献。
• 前向散射不可忽略：计入前向散射后，实验与计算的一致性优于纯消光方法，且能在更高降水率下准确捕捉信号行为。
• PSD 优于降水率：与基于降水率的幂律拟合相比，利用 PSD 细节的两种方法都给出好得多的实验—计算相关性。透射随降水率的非单调变化，本质上是 PSD 与数密度变化的反映。
• 遗留问题：雨滴谱仪把原始数据换算为降水率时存在固有不确定性（雪粒质量密度难估计），需要更高精度的降水率测量手段来进一步厘清降水率与激光透射的关系。

主要参考来源

• 本文实验由瑞典国防物资管理局与瑞典武装部队资助，实验组织与技术支持来自瑞典国防研究署（FOI）团队。
• 透射经验模型与早期落雪消光实验：O’Brien（1970）、Mason（1978）、Seagraves 与 Ebersole（1983）、Hutt 等（1992）等经典报告与论文。
• 激光雨滴谱仪原理及其落雪测量偏差：Löffler-Mang 与 Joss（2000）、Battaglia 等（2010）、Fehlmann 等（2020）。
• 激光雷达系统与单光子计数成像背景：Henriksson 与 Jonsson（2018）、Jonsson 等（2017）、McManamon（2019）。
• Mie 计算工具与冰的光学常数：Schäfer（2011）、Warren 与 Brandt（2008）。
• 非球形粒子与前向散射修正、雪的单次散射参数化：Bohren 与 Koh（1985）、Räisänen 等（2015）。

论文为什么选择目标面积远大于探测器孔径的几何，这对两种透射模型的差异意味着什么？

目标 ROI 约 1.1 × 1.1 m²，而光圈全开面积仅约 7×10⁻³ m²。前向散射光落在目标大立体角内的比例高，使出射透射率明显高于 Beer–Lambert 预测；返程因孔径立体角小，入射透射率几乎与纯消光一样。因此这种几何下前向散射修正的价值最大，若目标或探测器很小，两种方法的差别就会缩小。 [!question]- 前向散射方法在 2.44 mm/h 处失效，作者提出了哪两个候选解释？

一是降雪的空间不均匀性：阵雪条件下路径平均降水率可能低于单点测量值，导致实际透射高于计算值。二是多次散射：降水率 0.24 mm/h 及以上时衰减长度 AL 已大于 1，最高降水率处单次散射近似可能不再成立。 [!question]- 为什么降水率同为 0.04 mm/h 的三个案例，尺度化信号却相差数倍（5.8、2.7、1.7）？

因为决定透射的是完整的粒径分布而非降水率：信号 2.7 和 1.7 的两组大粒子（0.6 mm 及以上）更多，即使总粒子数密度更低，透射反而更低。降水率换算依赖水凝物质量密度，毛毛雨、雪粒、霰的密度差异抵消了 PSD 的差异，所以降水率相同。 [!question]- 标度信号 S_scaled 是如何消除测量条件差异的？

它把探测光子数对发射光子数、有效孔径面积和 ND 滤光片光密度做了归一，即 S_scaled = N_D / (N_E · A_rec · 10^(-OD))，从而消除脉冲能量、光圈直径和滤光片数量变化的影响。剩余的常数 C 收纳目标反射截面、距离等不变量，用实验数据的中位数确定。